Kurs:Analysis/Teil I/59/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	1	3	4	2	3	7	10	5	2	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
3. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Eine konvexe Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Die Jensensche Ungleichung.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Am 26.4.2021 schreibt die Tagesschau (tagesschau.de): „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Menschen mindestens ein Mal geimpft“. Im ausführlichen Text heißt es dann „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Impfdosen verabreicht worden. Wie das Robert Koch-Institut (RKI) mitteilte, sei die Marke am Wochenende überschritten worden [und] liegt nun bei 25,45 Millionen. Laut aktuellen RKI-Zahlen sind bundesweit bislang knapp 19,5 Millionen Menschen erstgeimpft. Das entspricht einem Bevölkerungsanteil von 23,4 Prozent. Knapp sechs Millionen Menschen sind inzwischen bereits zweimal geimpft, dies entspricht 7,2 Prozent der Bevölkerung“.

1. Was fällt auf?
2. Wie groß ist die Bevölkerung von Deutschland?
3. Wie viel Prozent der Erstgeimpften haben auch eine zweite Impfung erhalten?

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

${}[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.$

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ und jedem ${}0\leq k\leq n$ seien die Abbildungen

$D_{k}\colon [n]\longrightarrow [n+1]$

durch

${}D_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j<k,\\j+1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

und die Abbildungen

$S_{k}\colon [n+1]\longrightarrow [n]$

durch

${}S_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j\leq k,\\j-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

$D_{3}\colon [4]\longrightarrow [5].$

b) Erstelle eine Wertetabelle für

$S_{3}\colon [6]\longrightarrow [5].$

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

${}j$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\varphi (j)$	${}0$	${}2$	${}2$	${}4$	${}5$	${}5$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon [5]\longrightarrow [5]$

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten ${}D_{k}$ und ${}S_{i}$.

Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}a>b>0$ reelle Zahlen. Bestimme das ${}c$ zwischen ${}a$ und ${}b$ mit der Eigenschaft, dass der Kehrwert von ${}c$ zu den beiden Kehrwerten von ${}a$ und ${}b$ den gleichen Abstand besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

${}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.$

Bestimme ${}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Summe der Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3-{\mathrm {i} })^{k}}}.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (10 (1+1+1+3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 1}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 1},$

die durch

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {2}{x}}\,,{\text{ falls }}x\leq 2\,,\\{\frac {x}{2}}\,,{\text{ falls }}x>2\,,\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Skizziere den Graphen der Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ wohldefiniert ist.
3. Bestimme die Fixpunkte von ${}f$.
4. Bestimme die Fixpunkte der Hintereinanderschaltung ${}f\circ f$.
5. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.