Kurs:Analysis/Teil I/61/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	3	1	6	3	0	1	0	3	0	2	5	37

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Körper.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{k}$.
5. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
6. Eine untere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

   ${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

5. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}a$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x$ mit ${}\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
6. Eine Treppenfunktion

   $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt eine untere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}s(x)\leq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
3. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte
   1. ${}A(0)$ ist wahr.
   2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.
   Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.
2. Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

   $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   übereinstimmen. Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Satzantwort Für einen beliebigen Punkt ${}a\in I$ ist die Integralfunktion

   $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

   differenzierbar

   und es gilt

   $F'(x)=f(x)$

   für alle ${}x\in I$.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze ${}1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz ${}3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften ${}A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

1. Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
2. Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
3. unter welcher nicht?

Lösung

1. Es gibt genau eine Mannschaft, die zweimal gewinnt, diese ist Weltmeister, und genau eine Mannschaft, die zweimal verliert, diese ist Vierter. Die beiden anderen Mannschaften gewinnen einmal und verlieren einmal und sind Zweiter oder Dritter.
2. Wenn der Erste gegen den Vierten (die ja beide bekannt sind) spielt, so muss dieses Spiel ein Hauptfinale sein. Das komplementäre Spiel ist ebenfalls ein Halbfinale, das andere Spiel des Ersten muss das Finale und das andere Spiel des Vierten muss das Spiel um Platz drei sein. Somit sind alle Platzierungen bekannt.
3. Wenn der Erste nicht gegen den Vierten spielt, so kann man den Zweiten nicht vom Dritten unterscheiden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}a$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}a$	${}c$	${}d$

2. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}b$	${}a$

4. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}2$	${}1$	${}4$	${}3$	${}6$	${}5$	${}8$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}h$	${}b$	${}f$	${}d$	${}e$	${}c$	${}g$	${}a$

Lösung

1. Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle ${}4$ auf ${}h$ abgebildet werden soll, aber ${}h$ nicht zur Wertemenge gehört.
2. Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle ${}5$ einerseits auf ${}e$ und andererseits auf ${}a$ abgebildet werden soll.
3. Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für ${}8$ festlegt.
4. Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.

Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {4}}+{\sqrt {6}}.$

Lösung

Wir fragen uns, ob

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,$

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

${}3+7+2{\sqrt {21}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}<{\left(2+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=4+6+4{\sqrt {6}}\,.$

Dies ist durch Subtraktion mit ${}10$ äquivalent zu

${}2{\sqrt {21}}<4{\sqrt {6}}\,$

bzw. zu

${}{\sqrt {21}}<2{\sqrt {6}}\,.$

Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu

${}21<4\cdot 6=24\,,$

was stimmt. Also ist

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion ${}f$. Skizziere die Funktion ${}\vert {f}\vert$.

Lösung Funktion/Betragsfunktion/Skizze/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Die Bernoullische Ungleichung

${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,$

gilt für reelle Zahlen

${}x\geq -1\,$

und natürliche Exponenten ${}n\in \mathbb {N}$.

1. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=2$ für alle ${}x$ gilt.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=3$ nicht für alle ${}x$ gilt.
3. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=4$ für alle ${}x$ gilt.

Lösung

1. Es ist

   ${}(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\geq 1+2x\,,$

   da Quadrate positiv sind.

2. Es sei ${}x=-4$. Dann ist einerseits

   ${}(1+x)^{3}=(1-4)^{3}=(-3)^{3}=-27\,$

   und andererseits

   ${}1+3x=1+3(-4)=-11\,,$

   was größer ist.

3. Es ist nach dem binomischen Lehrsatz

   ${}(1+x)^{4}=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\,,$

   und es ist zu zeigen, dass dies ${}\geq 1+4x$ ist. Dies ist äquivalent zur Abschätzung

   ${}6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\geq 0\,.$

   Wir können den Faktor

   ${}x^{2}\geq 0\,$

   vorziehen und daher ist dies äquivalent zu

   ${}6+4x+x^{2}\geq 0\,.$

   Wegen

   ${}x^{2}+4x+6=(x+2)^{2}-4+6=(x+2)^{2}+2\geq 0\,$

   ist dies erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir nennen eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ streng konvergent gegen ${}x$, wenn sie gegen ${}x$ konvergiert und zusätzlich die Abstandsfolge ${}\vert {x_{n}-x}\vert$ fallend ist. Ist die Summe von zwei streng konvergenten Folgen wieder streng konvergent?

Lösung

Das ist nicht der Fall. Wir betrachten die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,,$

die streng gegen ${}0$ konvergiert, und die Folge

${}y_{n}=(-1)^{n}{\frac {1}{n}}\,,$

die ebenfalls streng gegen ${}0$ konvergiert. Die Summenfolge ${}x_{n}+y_{n}$ hat dann bei ${}n$ gerade den Wert ${}{\frac {2}{n}}$ und bei ${}n$ ungerade den Wert ${}0$. Die Abstandsfolge zum Grenzwert ${}0$ ist daher abwechselnd ${}0$ und ${}{\frac {2}{n}}$ und ist somit nicht monoton fallend.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Man finde ein Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}f(0)=0$, ${}f(1)=1$, ${}f(-1)=1$ und ${}f(3)=9$.

Lösung

Das Polynom ${}X^{2}$ erfüllt offenbar diese Eigenschaften.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Lösung

Im Nullpunkt ist der Differenzenquotient für ${}x>0$ gleich

${}{\frac {\vert {x}\vert -\vert {0}\vert }{x-0}}={\frac {x}{x}}=1\,,$

für ${}x<0$ ist er gleich

${}{\frac {\vert {x}\vert -\vert {0}\vert }{x-0}}={\frac {-x}{x}}=-1\,.$

Wenn man von oben kommt, konvergiert dies gegen ${}1$, und gegen ${}-1$, wenn man von unten kommt. Es existiert also kein Limes.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für nullstellenfreie differenzierbare Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'=-\left({\frac {f}{g}}\right)^{2}{\left({\frac {g}{f}}\right)}'\,$

gilt.

Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\&={\frac {f^{2}}{g^{2}}}\cdot {\frac {f'g-fg'}{f^{2}}}\\&=-{\frac {f^{2}}{g^{2}}}\cdot {\frac {fg'-f'g}{f^{2}}}\\&=-\left({\frac {f}{g}}\right)^{2}{\left({\frac {g}{f}}\right)}'.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 1 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?

Lösung Analysis 1/Schule/Förderklasse/Aufgabe/Lösung