Kurs:Analysis/Teil I/61/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 1 | 6 | 3 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 2 | 5 | 37 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Körper.
- Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
- Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
- Eine Reihe von komplexen Zahlen .
- Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Eine
untere Treppenfunktion
zu einer Funktion
auf einem Intervall .
- Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
- Distributivgesetz: Für alle gilt .
- Die
Relation
heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Aus und folgt stets .
- Aus und folgt .
- Eine
Folge
in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
, ,
gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt.
- Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
- Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
- Eine
Treppenfunktion
heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Induktionsprinzip für Aussagen.
- Der Identitätssatz für Potenzreihen.
- Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
- Für jede natürliche Zahl
sei eine Aussage gegeben. Es gelte
- ist wahr.
- Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
- Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
- Satzantwort
Für einen beliebigen Punkt ist die Integralfunktion
differenzierbar
und es gilt
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.
- Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
- Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
- unter welcher nicht?
- Es gibt genau eine Mannschaft, die zweimal gewinnt, diese ist Weltmeister, und genau eine Mannschaft, die zweimal verliert, diese ist Vierter. Die beiden anderen Mannschaften gewinnen einmal und verlieren einmal und sind Zweiter oder Dritter.
- Wenn der Erste gegen den Vierten (die ja beide bekannt sind) spielt, so muss dieses Spiel ein Hauptfinale sein. Das komplementäre Spiel ist ebenfalls ein Halbfinale, das andere Spiel des Ersten muss das Finale und das andere Spiel des Vierten muss das Spiel um Platz drei sein. Somit sind alle Platzierungen bekannt.
- Wenn der Erste nicht gegen den Vierten spielt, so kann man den Zweiten nicht vom Dritten unterscheiden.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
- ,
,
- ,
,
- ,
,
- ,
,
- Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle auf abgebildet werden soll, aber nicht zur Wertemenge gehört.
- Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle einerseits auf und andererseits auf abgebildet werden soll.
- Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für festlegt.
- Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Vergleiche
Wir fragen uns, ob
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu
bzw. zu
Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu
was stimmt. Also ist
Aufgabe (1 Punkt)
Lösung Funktion/Betragsfunktion/Skizze/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)
Die Bernoullische Ungleichung
gilt für reelle Zahlen
und natürliche Exponenten .
- Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten für alle gilt.
- Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten nicht für alle gilt.
- Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten für alle gilt.
- Es ist
da Quadrate positiv sind.
- Es sei
.
Dann ist einerseits
und andererseits
was größer ist.
- Es ist nach
dem binomischen Lehrsatz
und es ist zu zeigen, dass dies ist. Dies ist äquivalent zur Abschätzung
Wir können den Faktor
vorziehen und daher ist dies äquivalent zu
Wegen
ist dies erfüllt.
Aufgabe (3 Punkte)
Wir nennen eine reelle Folge streng konvergent gegen , wenn sie gegen konvergiert und zusätzlich die Abstandsfolge fallend ist. Ist die Summe von zwei streng konvergenten Folgen wieder streng konvergent?
Das ist nicht der Fall. Wir betrachten die Folge
die streng gegen konvergiert, und die Folge
die ebenfalls streng gegen konvergiert. Die Summenfolge hat dann bei gerade den Wert und bei ungerade den Wert . Die Abstandsfolge zum Grenzwert ist daher abwechselnd und und ist somit nicht monoton fallend.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (1 Punkt)
Man finde ein Polynom mit , , und .
Das Polynom erfüllt offenbar diese Eigenschaften.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Im Nullpunkt ist der Differenzenquotient für gleich
für ist er gleich
Wenn man von oben kommt, konvergiert dies gegen , und gegen , wenn man von unten kommt. Es existiert also kein Limes.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass für nullstellenfreie differenzierbare Funktionen
die Beziehung
gilt.
Nach der Quotientenregel ist
Aufgabe (5 Punkte)
Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 1 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?
Lösung Analysis 1/Schule/Förderklasse/Aufgabe/Lösung