Kurs:Analysis/Teil II/21/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	10	4	5	4	1	6	10	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Funktionalgleichung der Fakultätsfunktion ${}\operatorname {Fak} \,(x)$ für ${}x>0$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${}T\subseteq M$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Von einer Bewegung

\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

sei der Geschwindigkeitsverlauf

{}\varphi '(t)=\left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,t\sin \left(t^{2}\right),\,te^{t}\right)\,

bekannt. Ferner sei

{}\varphi (1)=(1,2,3)\,

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(2t-1,t^{2}+1\right),

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

{}F(x,y)=\left(xy^{2}-x,\,2xy-y^{2}\right)\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}7&-1\\-5&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die partielle Ableitung nach ${}w$ der Funktion

{}{\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&={\frac {-uv}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\cos \left(z-x\right)+2xw+4x^{5}zu^{9}+{\sqrt[{2}]{u^{2}+v^{2}+1}}\\\,\end{aligned}}

Aufgabe * (6 (2+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position ${}(x,y)$ . Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$ im Punkt ${}(x,y)$ besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).

Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition ${}(x,y)$ .
Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich ${}90$ Grad ist.
In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{x}}\right).

Bestimme das totale Differential zu ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$ .
Wie kann man das Ergebnis aus (2) ohne Rechnung erklären?

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und sei

\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei ${}t\in I$ ein Punkt mit ${}\gamma '(t)\neq 0$ . Zeige auf zweifache Weise, dass es ein offenes Intervall ${}t\in J\subseteq I$ derart gibt, dass ${}\gamma {|}_{J}$ injektiv ist.