Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 65

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Es ist unser Ziel zu zeigen, dass auf der Produktmenge von Maßräumen unter recht allgemeinen Voraussetzungen ein Maß definiert ist, das durch die Produktwerte auf den Quadern festgelegt ist. Dafür gehen wir den Weg über den Produkt-Präring.



Produkt-Präringe

Definition  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

erzeugten Präring den Produkt-Präring der , .



Lemma  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen.

Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

Beweis  

Die Quader mit gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist.  Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen und , der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader und . Der Durchschnitt davon ist gleich , also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt

was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist

ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern.
Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, und , gegeben. Dann ist

Nach der obigen Überlegung ist für jedes eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von . Für die Vereinigung ist

eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.

Simple set1.png


Simple set2.png











Der obige Beweis beeinhaltet insbesondere, dass man jede endliche Vereinigung von Quadern als eine endliche disjunkte Vereinigung schreiben kann.



Produktprämaße



Lemma

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die für eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch

    mit definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.

  2. Seien (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.

Beweis




Satz  

Es seien -endliche Maßräume gegeben.

Dann gibt es genau ein (-endliches) Maß auf der Produkt--Algebra , das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

besitzt.

Beweis  

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei -endlichen Maßräumen und . Es seien bzw. jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 63.7, da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen , , eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.

Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir statt betrachten. Dann bilden die , , eine disjunkte Vereinigung von . Da ein Maß nach Aufgabe ***** durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße und endlich sind.
Es sei der Produkt-Präring auf . Nach Lemma 65.3 gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist.
Aufgrund von Satz 64.7 kann man dieses Prämaß zu einem Maß auf der -Algebra fortsetzen.



Definition  

Es seien -endliche Maßräume. Dann nennt man das in Lemma 65.3 und Satz 65.4 konstruierte Maß das Produktmaß auf . Es wird mit bezeichnet.


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