Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen man Stammfunktionen finden bzw. bestimmte Integrale berechnen kann. Sie beruhen auf Ableitungsregeln.
\zwischenueberschrift{Partielle Integration}
\inputfaktbeweis
{Partielle Integration/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t
}
{ =} { fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der
Produktregel
ist $fg$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{fg'+f'g}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ a }^{ b } f(t) g'(t) \, d t + \int_{ a }^{ b } f'(t) g(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } { \left( fg'+f'g \right) } (t) \, d t
}
{ =} { fg | _{ a } ^{ b }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form
\mathl{fg'}{} vor, sondern einfach als Produkt $uv$
\zusatzklammer {wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung $1 u$ manchmal helfen kann} {} {.}
Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn $V$ eine Stammfunktion von $v$ ist, so lautet die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int uv
}
{ =} { uV- \int u' V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also
\mathl{\int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t}{,} integriert werden kann.
\inputbeispiel{}
{
Wir bestimmen eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
des
\definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{}
\mathl{\ln x}{} mittels
partieller Integration,
wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ln x
}
{ = }{ 1 \cdot \ln x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben und die konstante Funktion $1$ integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } \ln x \, d x
}
{ =} { (x \cdot \ln x) | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } x \cdot { \frac{ 1 }{ x } } \, d x
}
{ =} { (x \cdot \ln x) | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } 1 \, d x
}
{ =} { (x \cdot \ln x) | _{ a } ^{ b } - x | _{ a } ^{ b }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion ist also
\mathl{x \cdot \ln x - x}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
der
\definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{}
\mathl{\sin x}{} ist
\mathl{- \cos x}{.} Um Stammfunktionen zu
\mathl{\sin^{ n } x}{} zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von $0$ ausgehen, also für $0$ den Wert $0$ besitzen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist mittels
partieller Integration
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n } t \, d t
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \cdot \sin^{ 2 } t \, d t
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \cdot { \left( 1- \cos^{ 2 } t \right) } \, d t
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \, d t - \int_{ 0 }^{ x } { \left( \sin^{ n-2 } t \cos t \right) } \cos t \, d t
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \, d t - \frac{ \sin^{ n-1 } t }{ n-1} \cos t | _{ 0 } ^{ x } - \frac{1}{n-1} { \left( \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n } t \, d t \right) }
}
}
{}
{}{.}
Durch Multiplikation mit
\mathl{n-1}{} und Umstellen erhält man
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ n \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n } t \, d t
}
{ =} {(n-1) \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \, d t - \sin^{ n-1 } x \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Speziell ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ 2 } t \, d t
}
{ =} { \frac{1}{2} { \left( x- \sin x \cos x \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Die folgende Darstellung von $\pi$ heißt \stichwort {Wallissches Produkt} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {John_Wallis.jpg} }
\end{center}
\bildtext {John Wallis (1616-1703)} }
\bildlizenz { John Wallis.jpg } {} {Gene.arboit} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktuebergang {Es gilt die Darstellung}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ =} { \prod_{k = 1}^ \infty { \frac{ 4k^2 }{ 4k^2-1 } }
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} \prod_{k = 1}^{ m }{ \frac{ 4k^2 }{ 4k^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \sin^{ n } t \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine
\definitionsverweis {fallende Folge}{}{,}
für die aufgrund von
Beispiel 25.3
die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ n-1 }{ n } } a_{n-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerades $n$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ (n-1)(n-3)\cdots 3 \cdot 1 }{ n(n-2) \cdots 4 \cdot 2 } } \cdot { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für ungerades $n$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ (n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2 }{ n(n-2) \cdots 5 \cdot 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2m+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreibt sich dies als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2m}
}
{ =} { { \frac{ (2m-1)(2m-3) \cdots 3 \cdot 1 }{ 2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 } } \cdot { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2m+1}
}
{ =} { { \frac{ 2m(2m-2)\cdots 4 \cdot 2 }{ (2m+1)(2m-1) \cdots 5 \cdot 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Folge fallend ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_{n} }{ a_{n+2} } }
}
{ = }{ { \frac{ n+2 }{ n+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, konvergieren die Quotienten
\mathl{{ \frac{ a_n }{ a_{n+1 } }}}{} gegen $1$. Also ist insbesondere
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ 1
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} { \frac{ a_{2m} }{ a_{2m+1} } }
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} { \frac{ \,\,\, { \frac{ (2m-1)(2m-3)\cdots 3 \cdot 1 }{ 2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 } } \cdot { \frac{ \pi }{ 2 } } \,\,\, }{ \,\,\, { \frac{ 2m(2m-2)\cdots 4 \cdot 2 }{ (2m+1)(2m-1) \cdots 5 \cdot 3 } } \,\,\, } }
}
{ =} { \lim_{m \rightarrow \infty} { \frac{ (2m+1) (2m-1)^2(2m-3)^2\cdots 5^2 \cdot 3^2 \cdot 1 }{ (2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 )^2 } } \cdot { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Hier kann man den Zähler, indem man zwei aufeinander folgende Faktoren ausmultipliziert, als
\mathl{\prod_{k=1}^m (4k^2-1)}{} und den Nenner als
\mathl{\prod_{k=1}^m 4k^2}{} schreiben. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{m \rightarrow \infty} { \frac{ \prod_{k = 1}^m 4k^2 }{ \prod_{k = 1}^m (4k^2-1) } }
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Integration der Umkehrfunktion}
\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {[a,b]} {[c,d]
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
und es sei $F$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von $f$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(y)
}
{ \defeq} { y f^{-1} (y) - F { \left( f^{-1}(y) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Stammfunktion der
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\mathl{f^{-1}}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
unter Verwendung von
Lemma 18.7
und
Satz 18.9
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }'
}
{ =} { f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ =} { f^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {FunktionUmkehrIntegralOhne.svg} }
\end{center}
\bildtext {Funktionsgraph mit Umkehrfunktion und Flächen zur Berechnung eines Integrals der Umkehrfunktion.} }
\bildlizenz { FunktionUmkehrIntegralOhne.svg } {Jonathan Steinbuch} {Jonathan.Steinbuch} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}
Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn
\maabb {f} { [a,b] } { \R_+
} {}
eine streng wachsende stetige Funktion ist
\zusatzklammer {und daher eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {[a,b]} {und} {[f(a),f(b)]} {}
induziert} {} {,}
so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(s) \, d s + \int_{ f(a) }^{ f(b) } f^{-1}(t) \, d t
}
{ =} { bf(b)-a f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ f(a) }^{ f(b) } f^{-1}(t) \, d t
}
{ =} { bf(b)-a f(a) - \int_{ a }^{ b } f(s) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die Stammfunktion $G$ von
\mathl{f^{-1}}{} mit dem Startpunkt
\mathl{f(a)}{} gilt daher, wenn $F$ die Stammfunktion zu $f$ bezeichnet, die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{G(y)
}
{ =} { \int_{ f(a) }^{ y } f^{-1}(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ f(a) }^{ f(f^{-1}(y)) } f^{-1}(t) \, d t
}
{ =} { f^{-1}(y) f( f^{-1}(y))-a f(a) - \int_{ a }^{ f^{-1}(y) } f(s) \, d s
}
{ =} { y f^{-1}(y) - a f(a) - F(f^{-1}(y)) + F(a)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) - a f(a) + F(a)
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei
\mathl{- a f(a) + F(a)}{} eine Integrationskonstante ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir berechnen eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{\arctan x}{} unter Verwendung von
Satz 25.5.
Eine Stammfunktion des Tangens ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \tan t \, d t
}
{ =} { - \ln (\cos x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathdisp {x \cdot \arctan x + \ln (\cos (\arctan x))} { }
eine Stammfunktion von
\mathl{\arctan x}{.}
}
\zwischenueberschrift{Die Substitutionsregel}
\inputfaktbeweis
{Integration/Substitutionsregel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\maabbdisp {g} {[a,b]} {I
} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f ( s) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von $f$, die aufgrund von
Korollar 24.5
existiert. Nach der
Kettenregel
hat die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t \mapsto F(g(t))
}
{ =} { (F \circ g)(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(g(t)) g'(t)
}
{ = }{ f(g(t))g'(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t
}
{ =} { (F \circ g) | _{ a } ^{ b }
}
{ =} { F(g(b)) - F(g(a))
}
{ =} { F | _{ g(a) } ^{ g(b) }
}
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f(s) \, d s }
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Typische Beispiele, wo man sofort erkennen kann, dass man die
Substitutionsregel
anwenden kann, sind beispielsweise
\mathdisp {\int g^n g'} { }
mit der Stammfunktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ n+1 } } g^{n+1}} { }
oder
\mathdisp {\int { \frac{ g' }{ g } }} { }
mit der Stammfunktion
\mathdisp {\ln g} { . }
}
Häufig liegt ein bestimmtes Integral nicht in einer Form vor, dass man die vorstehende Regel direkt anwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Variante zum Zug.
\inputfaktbeweis
{Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {\varphi} {[c,d]} {[a,b]
} {s} {\varphi(s)
} {,}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{,}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { \int_{ \varphi^{-1}(a) }^{ \varphi^{-1}(b) } f( \varphi(s)) \cdot \varphi'(s) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 25.7
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ \varphi^{-1}(a) }^{ \varphi^{-1}(b) } f( \varphi(s)) \varphi'(s) \, d s
}
{ =} { \int_{ \varphi { \left( \varphi^{-1}(a) \right) } }^{ \varphi { \left( \varphi^{-1}(b) \right) } } f( t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Die
Substitution
wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t} { }
berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { \varphi(s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Integral einfacher wird
\zusatzklammer {und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung
\mathl{\varphi'(s)}{} und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion
\mathl{\varphi^{-1}}{} berechenbar ist} {} {.}
Mit
\mathkor {} {c= \varphi^{-1}(a)} {und} {d= \varphi^{-1}(b)} {}
liegt insgesamt die Situation
\mathdisp {[c,d] \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} [a,b] \stackrel{f}{\longrightarrow} \R} { }
vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.
Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.
\aufzaehlungdrei{Ersetze
\mathl{f(t)}{} durch
\mathl{f(\varphi(s))}{.}
}{Ersetze
\mathl{dt}{} durch
\mathl{\varphi'(s)ds}{.}
}{Ersetze die Integrationsgrenzen \mathkor {} {a} {und} {b} {} durch \mathkor {} {\varphi^{-1}(a)} {und} {\varphi^{-1}(b)} {.}
}
Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merk\-regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dt
}
{ =} { d \varphi(s)
}
{ =} { \varphi'(s)ds
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der man im Rahmen der Theorie der \anfuehrung{Differentialformen}{} auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.
}
\inputbeispiel{}
{
Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 =1 , \, -1 \leq x \leq 1 , \, y \geq 0 \right\} }} { . }
Zu gegebenem
\mathbed {x} {}
{-1 \leq x \leq 1} {}
{} {} {} {,}
gibt es genau ein $y$, das diese Bedingung erfüllt, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ \sqrt{1-x^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion
\mathl{x \mapsto \sqrt{1-x^2}}{} über dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{,} also gleich
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 1 } \sqrt{1-x^2} \, d x} { . }
Mit der
Substitution
\mathdisp {x = \cos t \text{ bzw. } t = \arccos x} { }
\zusatzklammer {wobei
\mathl{\cos :[0, \pi] \rightarrow [-1,1]}{} nach
Korollar 21.4
bijektiv ist} {} {,}
erhält man unter Verwendung von
Beispiel 25.3
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ a }^{ b } \sqrt{1-x^2} \, d x
}
{ =} { \int_{ \arccos a }^{ \arccos b } \sqrt{1- \cos^{ 2 } t } (- \sin t ) \, d t
}
{ =} { - \int_{ \arccos a }^{ \arccos b } \sin^{ 2 } t \, d t
}
{ =} { \frac{1}{2} ( \sin t \cos t -t ) | _{ \arccos a } ^{ \arccos b }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x \cdot \sin \left( \arccos x \right)- \arccos x \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x \cdot \sqrt{1-x^2} - \arccos x \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mathl{\sqrt{1-x^2}}{.} Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ -1 }^{ 1 } \sqrt{1-x^2} \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x \cdot \sqrt{1-x^2} - \arccos x \right) } | _{ -1 } ^{ 1 }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } ( - \arccos 1 + \arccos (-1) )
}
{ =} { \pi/2
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir bestimmen eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{\sqrt{x^2-1}}{} unter Verwendung der Hyperbelfunktionen
\mathkor {} {\sinh t} {und} {\cosh t} {,}
für die nach
Aufgabe 20.50
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cosh^{ 2 } t - \sinh^{ 2 } t
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die
Substitution
\mathdisp {x= \cosh t \text{ mit } dx = \sinh t dt} { }
liefert
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ a }^{ b } \sqrt{x^2-1} \, d x
}
{ =} { \int_{ \, \operatorname{arcosh} \, a \, }^{ \, \operatorname{arcosh} \, b \, } \sqrt{ \cosh^{ 2 } t-1 } \cdot \sinh t \, d t
}
{ =} { \int_{ \, \operatorname{arcosh} \, a \, }^{ \, \operatorname{arcosh} \, b \, } \sinh^{ 2 } t \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh^{ 2 } t
}
{ =} { { \left( \frac{1}{2} { \left( e^t - e^{-t} \right) } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( e^{2t} + e^{-2t} -2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \sinh^{ 2 } u \, d u
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } e^{2u} - { \frac{ 1 }{ 2 } } e^{-2u} - 2u \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } \sinh 2 u - { \frac{ 1 }{ 2 } } u
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ }^{ } \sqrt{x^2-1} \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } \sinh (2 \, \operatorname{arcosh} \, x \,) - { \frac{ 1 }{ 2 } } \, \operatorname{arcosh} \, x \,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
des Additionstheorems
für Sinus hyperbolicus ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sinh 2u
}
{ = }{ 2 \sinh u \cosh u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher kann man diese Stammfunktion auch als
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sinh { \left( \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } \cosh { \left( \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{ \cosh { \left( \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) }^2 -1 } \cdot x - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{ x^2 -1 } \cdot x - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2 }{ (x \cos x - \sin x )^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } }} { . }
Diese ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ - { \frac{ \cos x -x \sin x - \cos x }{ (x \cos x - \sin x )^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x \sin x }{ (x \cos x - \sin x )^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben daher $f$ als ein Produkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x \sin x }{ (x \cos x - \sin x )^2 } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wenden darauf
partielle Integration
an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ x }{ \sin x } } \right) }'
}
{ =} { { \frac{ \sin x - x \cos x }{ \sin^{ 2 } x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ }^{ } f ( x) \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } \bruchhilfealign - \int_{ }^{ } { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ \sin x - x \cos x }{ \sin^{ 2 } x } } \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } + \int_{ }^{ } { \frac{ 1 }{ \sin^{ 2 } x } } \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } - \cot x
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}