Kurs:Analysis 3/17/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes ${}X$ .
Eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wobei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ ist.
Der Limes superior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ .

Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition/Begriff/Inhalt
Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt
Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition/Begriff/Inhalt
Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit
$A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$
Eine Familie von Funktionen
$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.
1. Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$ .
2. Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$ .
4. Für jedes ${}j\in J$ gibt es eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.
Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}$ . Dann setzt man
${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$

und nennt diese Zahl (eventuell ${}+\infty$ ) den Limes superior der Folge.