Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Schemata}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionswort {Schema}{}
ist ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} derart, dass es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, für die die
\mathl{(U_i, {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i})}{}
\definitionsverweis {affine Schemata}{}{}
sind.
}
\inputfaktbeweis
{Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {Schema}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jeder
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene affine Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} {W
}
{ =} { \operatorname{Spec} { \left( R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene affine Umgebung von $P$. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U \cap W
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge von
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} und damit von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap W
}
{ = }{ D { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ = }{ \bigcup_{f \in {\mathfrak a} } D(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} {D(f)
}
{ \subseteq} { D { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein $f$ und
\mathl{D(f)}{} ist affin nach
Lemma 9.13.
\inputfaktbeweis
{Schema/Offene Teilmenge/Affine Überdeckung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {Schemas}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine Überdeckung mit affinen offenen Mengen und ist somit selbst ein Schema.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Als offene Teilmengen eines beringten Raumes ist $U$ ebenfalls ein beringter Raum. Die Existenz der affinen Überdeckung folgt unmittelbar aus Lemma 10.2.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {affinen Schemas}{}{}
$X$ nennt man ein
\definitionswort {quasiaffines Schema}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{}
$(R, {\mathfrak m} )$ nennt man
\mathdisp {\operatorname{Spek} { \left( R \right) } \setminus \{ {\mathfrak m} \}} { }
das
\definitionswort {punktierte Spektrum}{}
von $R$.
}
Als beringte Räume kann man Schemata grundsätzlich entlang offener Teilmengen im Sinne von
Lemma 7.10
miteinander verkleben. Wir geben dafür zwei Beispiele.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (S) \}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S,S^{-1}] \right) }
}
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V'
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (T) \}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T,T^{-1}] \right) }
}
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {U'} {V'
} {,}
der durch
\mathl{S \mapsto T}{} festgelegt ist und wir wollen
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
im Sinne von
Lemma 7.10
miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde $X$ ist ein Schema, das man die in einem Punkt verdoppelte Gerade nennt. Die beiden durch
\mathkor {} {(S)} {bzw.} {(T)} {}
gegebenen Punkte auf $X$ nennen wir
\mathkor {} {P} {bzw.} {Q} {.}
Es liegt das kommutative Diagramm
\zusatzklammer {von Restriktionshomomorphismen} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) = K[S] & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma (V, {\mathcal O}_X ) = K[S] & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U', {\mathcal O}_X ) = K[S,S^{-1}] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei wir die Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ =} { K[S]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die globalen Funktionen haben in $P$ und in $Q$ den gleichen Wert. Mit einer ähnlichen Überlegung lässt sich zeigen, dass die Halme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{X,P}
}
{ = }{ {\mathcal O}_{X,Q}
}
{ = }{ K[S]_{(S)}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmen
\zusatzklammer {alles spielt sich im Funktionenkörper $K(S)$ ab} {} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (S) \}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S,S^{-1}] \right) }
}
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V'
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (T) \}
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T,T^{-1}] \right) }
}
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {U'} {V'
} {,}
der durch
\mathl{S \mapsto T^{-1}}{} festgelegt ist und wir wollen
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
im Sinne von
Lemma 7.10
miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Modell für die projektive Gerade über $K$. Die beiden durch
\mathkor {} {(S)} {bzw.} {(T)} {}
gegebenen Punkte auf $X$ nennen wir
\mathkor {} {P} {bzw.} {Q} {.}
Wenn bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit der metrischen Topologie} {} {}
eine Folge in $U'$ gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert, so divergiert sie in $V$ bestimmt gegen unendlich.
Es liegt das kommutative Diagramm
\zusatzklammer {von Restriktionshomomorphismen} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( U , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } = K[S] & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma { \left( V, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } = K[T] = K[S^{-1} ] & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( U' , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } = K[S,S^{-1}] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei wir die Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{T^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da nur die konstanten Funktionen sowohl in
\mathl{K[S]}{} als auch in
\mathl{K[S^{-1}]}{} sind
\zusatzklammer {es wird der Durchschnitt im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(S)}{} genommen} {} {.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{X,P}
}
{ = }{ K[S]_{(S)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{X,Q}
}
{ = }{ K[S^{-1} ]_{(S^{-1})}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Morphismen von Schemata}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {Schemamorphismus}{} \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {Schemata}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} ist ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} der lokal beringten Räume.
}
Wir wollen zuerst die zu einem Ringhomomorphismus \maabb {\theta} {R} {S } {} gehörende Spektrumsabbildung \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {} zu einem Schemamorphismus machen. Dies ergibt sich als Spezialfall des folgenden Satzes.
\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {affines Schema}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\theta} {R} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
} {}
einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{}
\maabb {} {X} {Y
} {,}
der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
Lemma 7.18
muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid x \notin X_{\theta(f) } \right\} }
}
{ =} { (\rho_x \circ \theta)^{-1} { \left( {\mathfrak m}_x \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, wobei
\maabb {\rho_x} { \Gamma (X, {\mathcal O} ) } { {\mathcal O}_{X,x}
} {}
den Restriktionshomomorphismus in den Halm
\mathl{{\mathcal O}_{X,x}}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_x
}
{ \subseteq }{ {\mathcal O}_{X,x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (D(f))
}
{ =} { X_{\theta (f)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, die
\mathl{D(f)}{} nach
Proposition 8.4 (8)
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden und da die
\mathl{X_{\theta (f)}}{} nach
Lemma 7.16
offen sind. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen die Ringhomomorphismen
\mathdisp {R \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) \longrightarrow \Gamma ( X_{\theta(f)} , {\mathcal O}_X )} { }
vor, wobei $\theta(f)$ rechts zu einer Einheit wird. Nach
Satz 15.13 (Kommutative Algebra)
gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {R_f} { \Gamma (X_{\theta(f)} , {\mathcal O}_X )
} {,}
der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Gamma ( D( {\mathfrak a} ) , {\mathcal O}_Y )} { \Gamma ( \varphi^{-1} (D( {\mathfrak a} )) , {\mathcal O}_X )
} {}
für jede offene Menge
\mathl{D( {\mathfrak a} )}{} festgelegt. Es gilt nämlich mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D( {\mathfrak a} )
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} D(f_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma ( D( {\mathfrak a} ) , {\mathcal O}_Y )
}
{ =} { { \left\{ (s_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} R_{f_i} \mid s_i = s_j \text{ in } R_{f_if_j} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma ( \varphi^{-1}( D( {\mathfrak a} )) , {\mathcal O}_X )
}
{ =} { { \left\{ (t_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \Gamma ( X_{\theta(f_i)} , {\mathcal O}_X ) \mid t_i = t_j \text{ in } \Gamma ( X_{\theta(f_if_j)} , {\mathcal O}_X ) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da wir rechts auf den $R_{f_i}$ bzw. $R_{f_if_j}$ wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.
\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\maabb {\theta} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabb {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {,}
der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt. Topologisch handelt es sich um die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 10.9. Die Überlegung zu Beginn des Beweises von diesem Satz zeigt, dass es sich um die Spektrumsabbildung handelt.
\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Spek Z/Kanonischer Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen kanonischen
\definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{}
\maabb {} {X} { \operatorname{Spek} { \left( \Z \right) }
} {.}}
\faktzusatz {Dabei wird ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
seines
\definitionsverweis {Restekörpers}{}{}
\mathl{\kappa (x)}{} abgebildet.}
\faktzusatz {}
}
{
Der kanonische Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) } {} legt nach Satz 10.9 einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{} \maabbdisp {} {X} { \operatorname{Spek} { \left( \Z \right) } } {} fest.
\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Globale Funktion/Affine Gerade/Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann definiert jede globale Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{}
\maabb {} {X} { {\mathbb A}^{1}_{\Z}
} {,}
wobei die Variable
\zusatzklammer {der affinen Geraden} {} {}
auf $f$ abgebildet wird.}
\faktzusatz {Wenn
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ ist, so definiert $f$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume
\maabb {} {X} { {\mathbb A}^{1}_{K}
} {.}
Dabei wird ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf den Kern des Ringhomomorphismus
\maabbeledisp {} { K[T]} { \kappa (x)
} {T} { f(x)
} {,}
abgebildet.}
\faktzusatz {}
}
{
Das Ringelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {} { \Z[T]} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
} {,}
nämlich den
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.}
Nach
Satz 10.9
gibt es dazu einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume
\maabbdisp {} { { \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( \Z[T] \right) } = {\mathbb A}^{1}_{\Z}
} {.}
Der Zusatz ergibt sich entsprechend.
{Lokal beringter Raum/Affiner Raum/Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann definiert jedes Funktionstupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{}
\maabb {} {X} { { {\mathbb A}_{ \Z }^{ n } }
} {,}
wobei die Variable $T_i$
\zusatzklammer {des affinen Raumes} {} {}
auf $f_i$ abgebildet wird.}
\faktzusatz {Wenn
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ ist, so definieren die $f_1 , \ldots , f_n$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume
\maabb {} {X} { { {\mathbb A}_{ R }^{ n } }
} {.}
Dabei wird ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf den Kern des Ringhomomorphismus
\maabbeledisp {} { R[T_1 , \ldots , T_n ]} { \kappa (x)
} {T_i} { f_i(x)
} {,}
abgebildet.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.3. }
Ein Morphismus in einen affinen Raum ist also nichts anderes als ein Tupel von globalen Funktionen.
Wenn
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
ein Morphismus ist, so ist für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} {\varphi^{-1}(V)} {V
} {}
ein Morphismus. Wenn $V$ zusätzlich affin ist, so wird ein solcher Morphismus lokal
\zusatzklammer {bezogen auf $Y$} {} {}
wegen
Satz 10.9
durch einen Ringhomomorphismus gegeben. Dies bedeutet, dass ein Schemamorphismus
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
mit Hilfe einer affinen Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} V_i
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} \operatorname{Spek} { \left( R_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Wesentlichen durch die Ringhomomorphismen
\maabbdisp {} {R_i} { \Gamma ( \varphi^{-1}(V_i) , {\mathcal O}_X )
} {}
bestimmt ist.
\zwischenueberschrift{Schema über Basisschema}
Bei einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$ über einem Körper $K$ ist durch den kanonischen Ringhomomorphismus \maabb {} {K} {A } {} eine kanonische Spektrumsabbildung \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( A \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( K \right) } } {} festgelegt, die ja topologisch einfach die konstante Abbildung ist, die aber dennoch festlegt, wie die Konstanten aus $K$ zu interpretieren sind. Im Kontext von Schemata wird die Rolle eines Grundringes von einem Basisschema übernommen.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$ zusammen mit einem fixierten \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {p} {X} {S } {} zu einem weiteren Schema $S$ heißt ein \definitionswort {Schema über}{} $S$. Dabei heißt $S$ das \definitionswort {Basisschema}{.}
}
Häufig ist das Basisschema einfach das Spektrum eines Körpers. Wegen
Korollar 10.11
ist jedes Schema in eindeutiger Weise ein Schema über
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( \Z \right) }}{.} Bei einem Schema über
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} spricht man auch von einem Schema über $R$. Die Rolle von Algebrahomomorphismen wird durch Morphismen übernommen, die mit der Basis verträglich sind.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {Schemata über}{}{}
dem Basisschema $S$. Ein
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
heißt
\definitionswort {Schemamorphismus über}{}
$S$, wenn das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}X & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & Y & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & S & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
heißt
\definitionswort {von endlichem Typ}{,}
wenn es eine affine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (V_i)
}
{ =} { \bigcup_{i \in I_j} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt so, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{ I_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {} { \Gamma (V_j, {\mathcal O}_Y ) } { \Gamma (U_i, {\mathcal O}_X )
} {}
\definitionsverweis {von endlichem Typ}{}{}
sind.
}
\zwischenueberschrift{Einbettungen}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {f} {Y} {X } {} heißt \definitionswort {offene Einbettung}{,} wenn $f$ einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} mit einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{} von $X$ induziert.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {f} {Y} {X } {} heißt \definitionswort {abgeschlossene Einbettung}{,} wenn das \definitionsverweis {Bild}{}{} $f(Y)$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{} von $X$ ist, ein \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} \maabb {} {Y} {f(Y) } {} vorliegt und der zugehörige \definitionsverweis {Garbenhomomorphismus}{}{} \maabb {} { {\mathcal O}_{ X } } { f_* {\mathcal O}_{ Y } } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabb {f} {Y} {X
} {}
heißt
\definitionswort {Einbettung}{,}
wenn es eine Faktorisierung
\mathdisp {Y \stackrel{g}{\longrightarrow} Z \stackrel{h}{\longrightarrow} X} { }
mit einer
\definitionsverweis {offenen Einbettung}{}{}
$g$ und einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Einbettung}{}{}
$h$ gibt.
}