Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Normale Ringe}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
von $R$. Dann nennt man die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ den
\definitionswort {totalen Quotientenring}{}
von $R$. Er wird mit $Q(R)$ bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} heißt \definitionswort {normal}{,} wenn er \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{} in seinem \definitionsverweis {totalen Quotientenring}{}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{Q(R)}{} sein
\definitionsverweis {totaler Quotientenring}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $R$ in
\mathl{Q(R)}{} die \definitionswort {Normalisierung}{} von $R$.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {Normalisierung}{}{}
des Ringes
\mathl{K [X,Y]/(XY)}{} über einem Körper $K$. Das Element $X+Y$ ist ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und für das Element
\mathl{{ \frac{ X-Y }{ X+Y } }}{} aus dem
\definitionsverweis {totalen Quotientenring}{}{}
$Q(R)$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ X-Y }{ X+Y } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ (X-Y)^2 }{ (X+Y)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ X^2 +Y^2 }{ X^2+Y^2 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung.
}
\zwischenueberschrift{Diskrete Bewertungsringe}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {diskreter Bewertungsring}{} $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} genau ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$ gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
$p$ heißt die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{up^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, (f)}{} bezeichnet.
}
{Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann hat die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.7. }
Wir zitieren den folgenden Charakterisierungssatz, der insbesondere besagt, dass normale lokale eindimensionale Integritätsbereiche diskrete Bewertungsringe und somit faktoriell und regulär sind. Dies bedeutet wiederum für einen normalen noetherschen Integritätsbereich $R$, dass sämtliche Lokalisierungen an Primidealen der Höhe $1$ diskrete Bewertungsringe sind.
\inputfakt{Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt}{Satz}{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es genau zwei
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{0 \subset {\mathfrak m}}{} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
}{$R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}{$\mathfrak m$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
}
}
\inputfaktbeweis
{Diskreter Bewertungsrin/K/Restklassenkörper/Ordnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$B$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
über $K$, dessen
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
gleich $K$ ist.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gleich der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{}
von
\mathl{B/(f)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Aufgabe 21.2 durch Induktion über die Ordnung von $f$.
\zwischenueberschrift{Normale Schemata}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Schema}{}{}
heißt
\definitionswort {normal}{,}
wenn jeder
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_x}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {normaler Ring}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Normales Schema/Affine Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für ein
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{}}
\faktuebergang {sind folgende Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$X$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}{Für jede offene affine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $X$ ist $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Ring}{}{.}
}{Es gibt eine offene affine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $R_i$ ein normaler Ring ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Es sei (3) erfüllt. Für einen jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es somit eine offene affine Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \in} {U
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ \subseteq} {X
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $R$ normal. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathcal O}_x
}
{ = }{R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Primideal ${\mathfrak p}$ aus $R$. Nach
Satz 23.3 (Kommutative Algebra)
ist
\mathl{R_{\mathfrak p}}{} ebenfalls normal.
\inputfaktbeweis
{Normaler noetherscher Bereich/Durchschnitt/Lokalisierungen zur Höhe 1/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler}{}{}
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \bigcap_{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${\mathfrak p}$ über alle
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
${\mathfrak p}$ der
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
$1$ von $R$ läuft.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g/h
}
{ \in }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei vorausgesetzt, dass $f$ nicht zu $R$ gehört. Dann gibt es nach
Lemma 27.1 (Kommutative Algebra)
auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal
\definitionsverweis {assoziiertes Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also ${\mathfrak p}$ das Annullatorideal zu einem Element $x$ modulo dem Hauptideal
\mathl{(y)}{.} Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass ${\mathfrak p}$ das maximale Ideal von $R$ ist. Wir betrachten den
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q {\mathfrak p} \subseteq R \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p} N
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Maximalität von ${\mathfrak p}$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { {\mathfrak p} N
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} N
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Im ersten Fall folgt aus
Lemma 22.6 (Kommutative Algebra),
dass die Elemente aus $N$ ganz über $R$ sind. Wegen der Normalität von $R$ folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x {\mathfrak p}
}
{ \subseteq }{ (y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } } {\mathfrak p}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } }
}
{ \in} { N
}
{ =} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} N
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
vor. Doch dann muss es Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{aq
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b q
}
{ = }{b/a
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ (a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ (a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Hauptideal. Nach
Satz 24.5 (Kommutative Algebra)
ist $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
und ${\mathfrak p}$ besitzt die Höhe $1$.