Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 21

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Normale Ringe

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und sei die Menge der Nichtnullteiler von . Dann nennt man die Nenneraufnahme den totalen Quotientenring von . Er wird mit bezeichnet.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .


Beispiel  

Wir bestimmen die Normalisierung des Ringes über einem Körper . Das Element ist ein Nichtnullteiler und für das Element aus dem totalen Quotientenring gilt

d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung.




Diskrete Bewertungsringe

Definition  

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.


Definition  

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma

Sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal .

Dann hat die Ordnung

folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. genau dann, wenn .
  4. genau dann, wenn .

Beweis

Siehe Aufgabe 21.7.


Wir zitieren den folgenden Charakterisierungssatz, der insbesondere besagt, dass normale lokale eindimensionale Integritätsbereiche diskrete Bewertungsringe und somit faktoriell und regulär sind. Dies bedeutet wiederum für einen normalen noetherschen Integritätsbereich , dass sämtliche Lokalisierungen an Primidealen der Höhe diskrete Bewertungsringe sind.


Satz

Sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. ist ein Hauptidealbereich.
  3. ist faktoriell.
  4. ist normal.
  5. ist ein Hauptideal.



Lemma  

Es sei ein Körper, ein diskreter Bewertungsring über , dessen Restklassenkörper gleich ist.

Dann ist die Ordnung von einem Element , , gleich der -Vektorraumdimension von .

Beweis  

Dies folgt aus Aufgabe 21.2 durch Induktion über die Ordnung von .




Normale Schemata

Definition  

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring zu ein normaler Ring ist.



Lemma  

Für ein Schema sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. ist normal.
  2. Für jede offene affine Teilmenge von ist ein normaler Ring.
  3. Es gibt eine offene affine Überdeckung mit , wobei ein normaler Ring ist.

Beweis  

Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Sei (3) erfüllt. Für einen jeden Punkt gibt es somit eine offene affine Umgebung

mit normal. Dabei ist mit einem Primideal aus . Nach Satz 23.3 (Kommutative Algebra) ist ebenfalls normal.



Satz  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist

wobei über alle Primideale der Höhe von läuft.

Beweis  

Sei und sei vorausgesetzt, dass nicht zu gehört. Dann gibt es nach Lemma 27.1 (Kommutative Algebra) auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal mit . Es ist also das Annullatorideal zu einem Element modulo dem Hauptideal . Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass das maximale Ideal von ist. Wir betrachten den -Untermodul

Dabei gilt

Wegen der Maximalität von ist

oder

Im ersten Fall folgt aus Lemma 22.6 (Kommutative Algebra), dass die Elemente aus ganz über sind. Wegen der Normalität von folgt . Wegen ist auch , also

ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall, , vor. Doch dann muss es Elemente und mit

geben. Für ist dann , also und damit ist ein Hauptideal. Nach Satz 24.5 (Kommutative Algebra) ist ein diskreter Bewertungsring und besitzt die Höhe .



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