Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 21

Normale Ringe

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}S\subseteq R$  die Menge der Nichtnullteiler von ${}R$. Dann nennt man die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ den totalen Quotientenring von ${}R$. Er wird mit ${}Q(R)$ bezeichnet.

Definition

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}Q(R)$ sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Beispiel

Wir bestimmen die Normalisierung des Ringes ${}K[X,Y]/(XY)$ über einem Körper ${}K$. Das Element ${}X+Y$ ist ein Nichtnullteiler und für das Element ${}{\frac {X-Y}{X+Y}}$ aus dem totalen Quotientenring ${}Q(R)$ gilt

${}\left({\frac {X-Y}{X+Y}}\right)^{2}={\frac {(X-Y)^{2}}{(X+Y)^{2}}}={\frac {X^{2}+Y^{2}}{X^{2}+Y^{2}}}=1\,,$

d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung.

Diskrete Bewertungsringe

Definition

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring ${}R$ mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit der Eigenschaft  ${}f=up^{n}$,  wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,\left(f\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. 

Dann hat die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,\left(f\right),$

folgende Eigenschaften.

1.  ${}\operatorname {ord} \,\left(fg\right)=\operatorname {ord} \,\left(f\right)+\operatorname {ord} \,\left(g\right)$. 
2.  ${}\operatorname {ord} \,\left(f+g\right)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,\left(f\right),\,\operatorname {ord} \,\left(g\right)\right)$. 
3. Es ist  ${}f\in {\mathfrak {m}}$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,\left(f\right)\geq 1$  ist.
4. Es ist  ${}f\in R^{\times }$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,\left(f\right)=0$  ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.7.

$\Box$

Wir zitieren den folgenden Charakterisierungssatz, der insbesondere besagt, dass normale lokale eindimensionale Integritätsbereiche diskrete Bewertungsringe und somit faktoriell und regulär sind. Dies bedeutet wiederum für einen normalen noetherschen Integritätsbereich ${}R$, dass sämtliche Lokalisierungen an Primidealen der Höhe ${}1$ diskrete Bewertungsringe sind.

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale  ${}0\subset {\mathfrak {m}}$  gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}B$ ein diskreter Bewertungsring über ${}K$, dessen Restklassenkörper gleich ${}K$ ist.

Dann ist die Ordnung von einem Element  ${}f\in B$,   ${}f\neq 0$,  gleich der ${}K$-Vektorraumdimension von ${}B/(f)$.

Beweis

Dies folgt aus Aufgabe 21.2 durch Induktion über die Ordnung von ${}f$.

$\Box$

Normale Schemata

Definition

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring ${}{\mathcal {O}}_{x}$ zu  ${}x\in X$  ein normaler Ring ist.

Lemma

Für ein Schema ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}X$ ist normal.
2. Für jede offene affine Teilmenge  ${}U=\operatorname {Spek} \left(R\right)$  von ${}X$ ist ${}R$ ein normaler Ring.
3. Es gibt eine offene affine Überdeckung  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  mit  ${}U_{i}=\operatorname {Spek} \left(R_{i}\right)$,  wobei ${}R_{i}$ ein normaler Ring ist.

Beweis

Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Es sei (3) erfüllt. Für einen jeden Punkt  ${}x\in X$  gibt es somit eine offene affine Umgebung

${}x\in U=\operatorname {Spek} \left(R\right)\subseteq X\,$

mit ${}R$ normal. Dabei ist  ${}{\mathcal {O}}_{x}=R_{\mathfrak {p}}$  mit einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}R$. Nach Satz 42.3 (Kommutative Algebra) ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ ebenfalls normal.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist

${}R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,,$

wobei ${}{\mathfrak {p}}$ über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ von ${}R$ läuft.

Beweis

Es sei  ${}f=g/h\in Q(R)$  und sei vorausgesetzt, dass ${}f$ nicht zu ${}R$ gehört. Dann gibt es nach Lemma 44.12 (Kommutative Algebra) auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}f\notin R_{\mathfrak {p}}$.  Es ist also ${}{\mathfrak {p}}$ das Annullatorideal zu einem Element ${}x$ modulo dem Hauptideal ${}(y)$. Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass ${}{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal von ${}R$ ist. Wir betrachten den ${}R$-Untermodul

${}N=\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {p}}\subseteq R\right\}\subseteq Q(R)\,.$

Dabei gilt

${}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}N\subseteq R\,.$

Wegen der Maximalität von ${}{\mathfrak {p}}$ ist

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}N\,$

oder

${}{\mathfrak {p}}N=R\,.$

Im ersten Fall folgt aus Lemma 41.7 (Kommutative Algebra), dass die Elemente aus ${}N$ ganz über ${}R$ sind. Wegen der Normalität von ${}R$ folgt  ${}N=R$.  Wegen  ${}x{\mathfrak {p}}\subseteq (y)$  ist auch  ${}{\frac {x}{y}}{\mathfrak {p}}\subseteq R$,  also

${}{\frac {x}{y}}\in N=R\,,$

ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall,  ${}{\mathfrak {p}}N=R$,  vor. Doch dann muss es Elemente  ${}a\in {\mathfrak {p}}$  und  ${}q\in N$  mit

${}aq=1\,$

geben. Für  ${}b\in {\mathfrak {p}}$  ist dann  ${}bq=b/a\in R$,  also  ${}b\in (a)$  und damit ist  ${}{\mathfrak {p}}=(a)$  ein Hauptideal. Nach Satz 21.8 ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und ${}{\mathfrak {p}}$ besitzt die Höhe ${}1$.

$\Box$

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