Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 21

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Injektive Moduln

Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt injektiv, wenn es für jeden -Modul , jeden Untermodul und jeden -Modul-Homomorphismus eine Fortsetzung

gibt.

Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in eniem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für wird die Sache schon komplizierter.


Definition  

Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.

Die Gruppe selbst ist nicht divisibel, dagegen ist als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem die Multiplikationsabbidung

surjektiv ist (man kann durch dividieren, daher der Name divisibel).



Lemma  

Zu einer divisiblen Gruppe

ist auch jede Restklassengruppe divisibel.

Beweis  

Sei . Für jedes gibt es mit . Dann gilt auch in .




Lemma  

Zu jeder kommutativen Gruppe

gibt es eine divisible Gruppe mit .

Beweis  

Wir schreiben mit einer geeigneten Indexmenge , die ein Erzeugendensystem von indiziere. Die freie Gruppe kann man in die divisible Gruppe einbetten. Dahr gibt es eine Einbettung

und letztere ist nach Fakt ***** divisibel.




Lemma  

Eine kommutative Gruppe

ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.

Beweis  




Lemma  

Es sei ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring .

Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz

von -Moduln.

Beweis  

Zur Identität gibt es eine Forsetzung . Diese vermittelt die Spaltung.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und ein injektiver -Modul.

Dann ist auch der -Modul injektiv.

Beweis  

Es seien -Moduln und

ein -Modulhomomorphismus. Wir betrachten und als -Moduln und wir betrachten den -Modulhomomorphismus

Aufgrund der Injektivität von als -Modul gibt es eine Fortsetzung . Wir behaupten, dass die Abbildung

ein -Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

zu gehört. DIe Gesamtzuordnung ist linear aufgrund der -Modulstruktur von .




Korollar  

Zu einem -Modul über einem kommutativen Ring

gibt es einen injektiven Modul mit .

Beweis  

Für die kommutative Gruppe gibt es nach Fakt ***** eine divisible Gruppe und eine Einbettung . Nach Fakt ***** ist ein injektiver -Modul. Nach Fakt ***** ist dann auch der -Modul injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind -Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein -Untermodul vor.



Definition  

Eine injektive Auflösung eines -Moduls über einem kommutativen Ring ist ein exakter Komplex

von -Moduln, wobei die , injektive Moduln sind.



Lemma  

Ein -Modul über einem kommutativen Ring

besitzt eine injektive Auflösung.

Beweis  

Nach Fakt ***** gibt es einen injektiven Modul mit . Für den Restklassenmodul gibt es entsprechend einen injektiven Modul mit , u.s.w.




Lemma  

Es seien und -Moduln über einem kommutativen Ring . Es sei

ein exakter Komplex,

eine injektive Auflösung und

ein -Modulhomomorphismus.

Dann gibt es -Modulhomomorphismen

die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.

Beweis  

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über bewiesen. Zum Homomorphismus gibt es einen kommutierenden Homomorphismus

dies sichert den Induktionsanfang. Sei nun die Existenz der Homomorphismen bis bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion

vor, und wegen der Kommutativität wird insgesamt auf nach hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus

vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach .


Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.



Lemma  

Es sei ein -Modul über einem kommutativen Ring . Es sei

ein exakter Komplex und es sei

ein Komplex, wobei die Moduln injektiv seien. Es seien

Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann sind und homotop.

Beweis  

Wir definieren induktiv die Homotopien

und legen

als die Nullabbildung fest ( ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, und es gilt

Wir betrachten den Homomorphismus von nach . Für gilt dabei

da ja die als auch die mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass das Bild von auf abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus

Da der Komplex exakt ist, liegt eine injektive Abbildung

vor, und da injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung

Dabei gilt



Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Moduln über . Es sei eine injektive Auflösung von . Dann nennt man die -te Homologie des Komplexes

den -ten Extmodul zu und . Er wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Moduln über .

Dann sind die -ten Extmoduln unabhängig von der für gewählten injektiven Auflösung.

Beweis  

Es seien

und

injektive Auflösungen von . Dann gibt es nach Fakt ***** Homomorphismen von Kettenkomplexen

und

Dabei sind die Hintereinanderschaltungen und nach Fakt ***** homotop zur Identität auf bzw. auf . Dies gilt nach Fakt ***** auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen bzw. . D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung

die Identität ist. Somit sind die kanonische Isomorphismen.




Lemma  

Es sei ein injektiver Modul über dem kommutativen Ring .

Dann ist

für jeden -Modul und jedes .

Beweis  

Dies folgt direkt unter Verwendung der injektiven Auflösung von mit und für .



Lemma  

Es sei ein beringter Raum und es sei ein -Modul.

Dann gibt es eine injektive Modulgarbe auf mit .

Beweis  

Für jede Modulgarbe ist

ein injektiver -Modulhomomorphismus, wobei (für ) den Vorschub des -Moduls unter der Einbettung bezeichnet. Nach Fakt ***** gibt es zu einen injektiven -Modul . Wir setzen . Somit erhalten wir Inklusionen

von -Moduln. Wir müssen zeigen, dass injektiv ist. Seien dazu -Moduln und ein Modulhomomorphismus

gegeben. Dies entspricht einem Element . Zu jedem gibt es eine Fortsetzung und diese setzen sich zu einer Fortsetzung

zusammen.



Definition  

Eine Garbe auf einem topologischen Raum heißt welk, wenn für offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen

surjektiv sind.

Im Fall einer welken Garbe sind dann für beliebige offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen surjektiv.



Lemma  

Es sei ein topologischer Raum und es sei

eine kurze exakte Sequenz von Garben von abelschen Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Wenn eine welke Garbe ist, so ist die globale Auswertung surjektiv.
  2. Wenn und welk sind, so ist auch welk.

Beweis  

  1. Sei vorgegeben. Wir verwenden das Lemma von Zorn und betrachten die Menge

    Wir führen auf durch , falls und eine Erweiterung von ist, eine Ordnung ein. Diese Menge ist aufgrund der Garbeneigenschaft induktiv geordnet. Nach dem Lemma von Zorn gibt es somit ein maximales Element in . Es ist zu zeigen, dass ist. Sei also angenommen und sei . Wegen der Garbensurjektivität gibt es eine offene Umgebung und einen Schnitt , der auf (die Restriktion auf ) abbildet. Daher bildet auf ab und gehört somit zu . Wegen der Welkheit gibt es einen Schnitt

    der auf einschränkt. Wir ersetzen durch

    Dies wird nach wie vor nach abgebildet und es ist

    Somit sind und als Schnitte von verträglich und legen einen Schnitt fest, der nach abbildet. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von .

  2. Folgt aus (1).




Lemma  

Es sei ein beringter Raum und ein injektiver -Modul.

Dann ist welk.

Beweis  

Es sei eine offene Teilmenge. Wir betrachtet die Prägarbe

und nennen die Vergarbung davon . Der natürliche Prägarbenhomomorphismus führt nach Lemma 5.2  (4) zu einem Garbenhomomorphismus

Dieser ist injektiv. Es ist

Da injektiv ist, lässt sich jedes Element daraus zu einem Element aus

fortsetzen. Dies bedeutet, dass die Restriktionsabbildung surjektiv ist.



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