Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die
Quaderversion des Satzes von Stokes
direkt für einen Quader
\mathl{[a_1,b_1] \times \cdots \times [a_n,b_n]}{} und eine
$n-1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$\omega$ der Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\omega
}
{ =} { x_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n} dx_2 \wedge \ldots \wedge dx_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
und mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{}
und es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {geschlossene}{}{} $(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform
}{}{}
auf $M$ mit
\definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\partial M} \omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
\zusatzklammer {ohne Rand} {} {}
mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{}
und es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
$(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform
}{}{}
auf $M$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\int_{ M } d\omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{Was bedeutet diese Aussage für $S^1$? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und es sei $\tau$ eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$. Zeige, dass $\tau$ nicht \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.
}
{Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {exakte}{}{} \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $M$. Es sei $S$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
\zusatzklammer {ohne Rand} {} {}
mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {S} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\int_{ S } \varphi^*\omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildung
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 2}{}} {} {}
\maabbeledisp {\pi} {\R^n \setminus \{0\}} { S^{n-1}
} {(x_1 , \ldots , x_n) } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} } } (x_1 , \ldots , x_n)
} {.}
Es sei $\omega$ die
\definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{}
auf $S^{n-1}$. Zeige, dass
\mathl{\pi^* \omega}{} auf $\R^n \setminus \{0\}$ eine
\definitionsverweis {geschlossene}{}{,}
aber keine
\definitionsverweis {exakte}{}{}
$n-1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ B \left( 0,1 \right) \setminus \{(0,0)\}
}
{ \subset }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Rand
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \partial M
}
{ = }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die beiden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mathdisp {\omega= ydx-xdy \text{ und } \tau= { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } { \left( ydx-xdy \right) }} { }
auf $M$. Zeige, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{\partial M} \omega
}
{ = }{ \int_{\partial M} \tau
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Vergleiche
\mathkor {} {\int_M d \omega} {und} {\int_M d \tau} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im $\R^2$ nur von der Länge des Randes abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ das durch
$(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$
gegebene Dreieck und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ = }{ x^2ydx \wedge dy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $D$. Finde eine
\definitionsverweis {Stammform}{}{}
für $\tau$ und berechne damit
\mathl{\int_{ D } \tau}{} durch ein Integral über dem Dreiecksrand.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Green
für das Einheitsquadrat
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ [0,1] \times [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { x^ay^b dx + x^cy^d dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch explizite Berechnungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Green
durch explizite Berechnungen für die Menge
\mathl{T=[-2,2] \times [-2,2] \setminus U { \left( 0,1 \right) }}{}
\zusatzklammer {also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge $4$ ohne den offenen Einheitskreis} {} {}
und die
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{(x-y)dx + xy dy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Satz von Green für ein Dreieck $D$ mit den Eckpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1,P_2,P_3
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für die Differentialform
\mathl{xdy}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_{+}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Wir fassen den
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
als eine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Berechne den Flächeninhalt des Subgraphen mit den beiden
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mathl{xdy}{} und
\mathl{ydx}{} über den Rand.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Volumen der dreidimsionalen \definitionsverweis {abgeschlossenen Einheitskugel}{}{} durch ein geeignetes Flächenintegral über die \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $S^2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\omega
}
{ =} { x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf der Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.}
a) Zeige, dass $d \omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.
b) Zeige, dass
\mathl{\omega{{|}}_{S^2}}{} die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.
c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare
$n-1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d \omega
}
{ =} { fdx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Funktion
\maabb {f} {U} {\R
} {.}
Zeige für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \beta_n } } \cdot \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ \epsilon^n } } \int_{S^{n-1}(P, \epsilon)} \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\beta_n$ das
Volumen
der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
}
{} {}
Für einen Spezialfall der vorstehenden Aussage siehe Aufgabe 58.23 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabb {} {M} { \partial M } {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ein
\definitionsverweis {Halbraum}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {H} { \partial H
} {}
gibt, deren
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
auf
\mathl{\partial H}{} die
\definitionsverweis {Identität}{}{}
ist.
}
{Wie sieht das bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \R^n \setminus U { \left( 0,1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung von $M$ auf den Rand
\mathl{S { \left( 0, 1 \right) }}{} gibt, die auf dem Rand die Identität ist.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe kann man
Aufgabe 21.8
heranziehen.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { B \left( 0,1 \right) \setminus \{ \left( 1 , \, 0 \right) \}
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} { \partial M
} {}
gibt, die auf dem Rand die Identität ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Annulus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die im Beweis zum
Brouwerschen Fixpunktsatz
verwendete Abbildung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ =} { x + \left( - \left\langle x , h(x) \right\rangle + \sqrt{1 + \left\langle x , h(x) \right\rangle^2 - \Vert {x} \Vert^2 }\right) \cdot h(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ = }{ { \frac{ \psi(x)-x }{ \Vert { \psi (x)-x} \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
die Einheitskugel auf die Einheitssphäre abbildet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $D$ das durch
$(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mathl{\tau =( 3x^2y^5-x \sin y ) dx \wedge dy}{} eine
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $D$. Finde eine
\definitionsverweis {Stammform}{}{} für $\tau$ und berechne damit
\mathl{\int_{ D } \tau}{} durch ein Integral über dem Dreiecksrand.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten den Würfel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ =} { [-1,1]^3
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { dx \wedge dy +y dx \wedge dz +x^2y^2z^2 dy \wedge dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathl{d \omega}{} und die beiden Integrale
\mathkor {} {\int_{ \partial Q } \omega} {und} {\int_{ Q } d \omega} {}
\zusatzklammer {unabhängig voneinander} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne den Flächeninhalt der \definitionsverweis {abgeschlossenen Einheitskreisscheibe}{}{} über ein geeignetes \definitionsverweis {Wegintegral}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Torus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $B$ die
\definitionsverweis {abgeschlossene Einheitskreisscheibe}{}{}
und $K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {B} {K
} {}
gibt, deren
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
auf
\mathl{K}{} die
\definitionsverweis {Identität}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {\Vert {v} \Vert \leq 1} {und} {\Vert {w} \Vert = 1} {.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+aw} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { B \left( 0,1 \right) \setminus \{ \left( 1 , \, 0 \right) \}
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine fixpunktfreie
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} { M
} {}
gibt.
}
{} {}