Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.

Aufgabe

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes direkt für einen Quader $[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ und eine $n-1$-Differentialform $\omega$ der Gestalt

$\omega =x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}d{x}_2\wedge \dots \wedge d{x}_n.$

Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare geschlossene $(n-1)$-Differentialform auf $M$ mit kompaktem Träger. Zeige

${\int }_{\partial M}\omega =0.$

Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform auf $M$. Zeige

${\int }_{M}d\omega =0.$

Was bedeutet diese Aussage für $S^1$? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?

Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\tau$ eine positive Volumenform auf $M$. Zeige, dass $\tau$ nicht exakt ist.

Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?

Aufgabe *

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine exakte Differentialform auf $M$. Es sei $S$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei

$\phi :S⟶M$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige

${\int }_S{\phi }^{\ast }\omega =0.$

Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung ($n\ge 2$)

$\pi :{ℝ}^n\setminus \{0\}⟶S^{n-1},(x_1,\dots ,x_n)⟼\frac{1}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}}(x_1,\dots ,x_n).$

Es sei $\omega$ die kanonische Volumenform auf $S^{n-1}$. Zeige, dass ${\pi }^{\ast }\omega$ auf ${ℝ}^n\setminus \{0\}$ eine geschlossene, aber keine exakte $n-1$-Differentialform ist.

Aufgabe

Es sei  $M=B(0,1)\setminus \{(0,0)\}\subset {ℝ}^2$  mit dem Rand  $\partial M=S^1$.  Wir betrachten die beiden stetig differenzierbaren $1$-Differentialformen

$\omega =ydx-xdy\text{ und }\tau =\frac{1}{x^2+y^2}(ydx-xdy)$

auf $M$. Zeige, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere  ${\int }_{\partial M}\omega ={\int }_{\partial M}\tau$  gilt. Vergleiche ${\int }_{M}d\omega$ und ${\int }_{M}d\tau$.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im ${ℝ}^2$ nur von der Länge des Randes abhängt.

Aufgabe

Es sei $D$ das durch $(0,2),(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und  $\tau =x^{2}ydx\wedge dy$  eine $2$-Differentialform auf $D$. Finde eine Stammform für $\tau$ und berechne damit ${\int }_D\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat  $T=[0,1]\times [0,1]$  und die Differentialformen

$\omega =x^a{y}^{b}dx+x^c{y}^{d}dy$

mit  $a,b,c,d\in \mathbb{N}$  durch explizite Berechnungen.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge $T=[-2,2]\times [-2,2]\setminus U(0,1)$ (also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge $4$ ohne den offenen Einheitskreis) und die Differentialform  $\omega =(x-y)dx+xydy$. 

Aufgabe *

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck $D$ mit den Eckpunkten  $P_1,P_2,P_3\in {ℝ}^2$  und für die Differentialform $xdy$.

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶{ℝ}_{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Berechne den Flächeninhalt des Subgraphen mit den beiden Differentialformen $xdy$ und $ydx$ über den Rand.

Aufgabe

Bestimme das Volumen der dreidimsionalen abgeschlossenen Einheitskugel durch ein geeignetes Flächenintegral über die Einheitssphäre $S^2$.

Aufgabe *

Wir betrachten die $2$-Differentialform

$\omega =xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy$

auf der Einheitskugel $B(0,1)$.

a) Zeige, dass $d\omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass $\omega {|}_{S^2}$ die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.

Aufgabe *

Es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $n-1$-Differentialform auf einer offenen Menge  $U\subseteq {ℝ}^n$  und sei die äußere Ableitung gleich

$d\omega =fd{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n$

mit einer Funktion $f:U\to ℝ$. Zeige für  $P\in U$  die Gleichheit

$f(P)=\frac{1}{{\beta }_n}\cdot {\lim }_{ϵ\to 0}\frac{1}{{ϵ}^n}{\int }_{S^{n-1}(P,ϵ)}\omega ,$

wobei ${\beta }_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Für einen Spezialfall der vorstehenden Aussage siehe Aufgabe 58.23 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung $M\to \partial M$ gibt.

Aufgabe

Es sei  $H\subseteq {ℝ}^n$  ( $n\ge 1$ ) ein Halbraum. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

$\phi :H⟶\partial H$

gibt, deren Einschränkung auf $\partial H$ die Identität ist.

Wie sieht das bei  $n=0$  aus?

Aufgabe

Wir betrachten die Mannigfaltigkeit mit Rand  $M={ℝ}^n\setminus U(0,1)$.  Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung von $M$ auf den Rand $S(0,1)$ gibt, die auf dem Rand die Identität ist.

Für die folgende Aufgabe kann man Aufgabe 21.8 heranziehen.

Aufgabe

Wir betrachten die Mannigfaltigkeit mit Rand

$M=B(0,1)\setminus \{(1,0)\}\subseteq {ℝ}^2.$

Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

$\phi :M⟶\partial M$

gibt, die auf dem Rand die Identität ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Annulus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zum Brouwerschen Fixpunktsatz verwendete Abbildung

$\phi (x)=x+(-⟨x,h(x)⟩+\sqrt{1+{⟨x,h(x)⟩}^2-\Vert x{\Vert }^2})\cdot h(x)$

(mit  $h(x)=\frac{\psi (x)-x}{\Vert \psi (x)-x\Vert }$ ) die Einheitskugel auf die Einheitssphäre abbildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $D$ das durch $(0,2),(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und $\tau =(3x^2{y}^5-x\sin y)dx\wedge dy$ eine $2$-Differentialform auf $D$. Finde eine Stammform für $\tau$ und berechne damit ${\int }_D\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten den Würfel

$Q=[-1,1{]}^3\subseteq {ℝ}^3$

und die $2$-Differentialform

$\omega =dx\wedge dy+ydx\wedge dz+x^2{y}^2{z}^{2}dy\wedge dz.$

Berechne $d\omega$ und die beiden Integrale ${\int }_{\partial Q}\omega$ und ${\int }_{Q}d\omega$ (unabhängig voneinander).

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $B$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und $K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

$\phi :B⟶K$

gibt, deren Einschränkung auf $K$ die Identität ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien  $v,w\in {ℝ}^n$  mit $\Vert v\Vert \le 1$ und $\Vert w\Vert =1$. Zeige, dass es ein  $a\in ℝ$  mit  $\Vert v+aw\Vert =1$  gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Mannigfaltigkeit mit Rand

$M=B(0,1)\setminus \{(1,0)\}\subseteq {ℝ}^2.$

Zeige, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung

$\phi :M⟶M$

gibt.