Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Orientierung/Anhang

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei zweidimensionale reelle Vektorräume mit den Basen ${}v_{1},v_{2}$ bzw. ${}w_{1},w_{2}$. Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

gegeben mit ${}\varphi (v_{1})=aw_{1}+bw_{2}$ und ${}\varphi (v_{2})=cw_{1}+dw_{2}$. Die Matrix, die diese lineare Abbildung beschreibt, ergibt sich, indem man die Koordinaten des Bildvektors des ${}i$-ten Basisvektors als ${}i$-te Spalte schreibt. Bei der gegebenen Nummerierung ergibt sich also die Matrix

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}},$

und ihre Determinante ist ${}ad-cb$. Wenn man hingegen die Reihenfolge von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ vertauscht (also mit der Basis $u_{1}=v_{2}$ und $u_{2}=v_{1}$ arbeitet), so ist die beschreibende Matrix

${\begin{pmatrix}c&a\\d&b\end{pmatrix}}$

mit der Determinante ${}cb-ad=-(ad-cb)$. Abhängig von der gewählten Basis kann also die Determinante mal positiv, mal negativ sein (bei einem Endomorphismus kann das nicht passieren, wenn man vorne und hinten stets die gleiche Basis nimmt).

Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren ${}\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$, sondern das geordnete Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ der Basisvektoren versteht.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.

Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen (genannt Orientierungen oder Orientierungsklassen) gibt (außer beim Nullraum).

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.

Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen.

Viele Objekte aus Natur und Technik machen deutlich, dass es zwei verschiedene Orientierungen gibt. Es ist einfach, bei gleichartigen Objekten wie Federn die mit der gleichen und die mit der entgegengesetzten Orientierung zu erkennen.

Die Benennung der beiden Orientierungen und welchen mathematischen (durch eine Basis repräsentierten) Orientierungen sie entsprechen ist eine Frage der Konvention.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.

Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, indem man beispielsweise sagt, dass ${}V$ die Orientierung tragen möge, die durch die Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ repräsentiert wird. Der Standardraum ${}\mathbb {R} ^{n}$ trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte Standardorientierung, die durch die Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ repräsentiert wird.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf ${}V$ repräsentiert, die Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe Aufgabe 13.4.

Bei einem eindimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ (einer Geraden) ist eine Orientierung einfach durch einen einzigen Vektor ${}v\neq 0$ gegeben, d.h. es wird einfach eine der beiden „Halbgeraden“ als „positiv“ ausgezeichnet. Dies ist wiederum äquivalent zu einer Identifizierung von ${}V$ mit ${}\mathbb {R}$, der mit der Standardorientierung versehen ist, bei der ${}1$ positiv ist. Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt.

Lemma

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension ${}n$.

Dann entsprechen durch die Zuordnung

$[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$

die Orientierungen auf ${}V$ den Orientierungen auf ${}\bigwedge ^{n}V$.

Beweis

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ mit der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann gilt nach Korollar Anhang 2.4

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,,$

woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.

$\Box$

Eine rechtswinkende Winkerkrabbe. Wenn sie sich auf einer dreidimensionalen orientierten Mannigfaltigkeit bewegt, bleibt sie stets rechtswinkend (weshalb es sich um einen sinnvollen Begriff handelt). Auf einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit kann sie linkswinkend werden.