Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Definitionsabfrage

Definition:Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

aus.

Definition:Injektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

{}F(x)=y\,

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Dann nennt man

{}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,

den Graphen der Abbildung ${}F$ .

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$ . Sie wird mit

{\mathfrak {P}}\,(M)

bezeichnet.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.

Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M

und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

für alle ${}x,y,z\in M$ .
${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
${}x\circ e=x=e\circ x\,$

für alle ${}x\in M$ .

Definition:Gruppe

Ein Monoid ${}(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in G$ ein ${}y\in G$ mit ${}x\circ y=e=y\circ x$ gibt.

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

{}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$ . Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$ . Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$ .

Definition:Untergruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

${}e\in H$ .
Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$ .
Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$ .

Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M\subseteq G$ eine Teilmenge. Dann nennt man

{}(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H\,{\text{Untergruppe}}}H\,

die von ${}M$ erzeugte Untergruppe.

Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition:Teilen (Z)

Man sagt, dass die ganze Zahl ${}a$ die ganze Zahl ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es eine ganze Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$ .

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl ${}t$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt ( ${}i=1,\ldots ,k$ ).

Eine ganze Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien zwei ganze Zahlen ${}a,b$ (mit ${}b\neq 0$ ) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

{}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von ganzen Zahlen

a_{1},\ldots ,a_{n}

heißt eine ganze Zahl ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird. Die Zahl ${}b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ , wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ${}b$ ist.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

\psi \colon G\longrightarrow H

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

{}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

\varphi \colon G\longrightarrow H

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Innerer Automorphismus

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},

heißt innerer Automorphismus.

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$ , geschrieben

{}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$ , also ${}R\subseteq M\times M$ .

Definition:Relationseigenschaften

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}R\subseteq M\times M$ eine Relation auf ${}M$ . Man nennt ${}R$

reflexiv, wenn

${}(x,x)\in R$ gilt für alle ${}x\in M$ .

transitiv, wenn für beliebige

${}x,y,z\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und aus ${}(y,z)\in R$ stets ${}(x,z)\in R$ folgt.

symmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ auch ${}(y,x)\in R$ folgt.

antisymmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und ${}(y,x)\in R$ die Gleichheit ${}x=y$ folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$ .
Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$ .
Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$ .

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$ , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$ ).

Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$ , dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}x\in M$ . Dann ist

{}[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$ .

Definition:Quotientenmenge

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

{}M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,

die Quotientenmenge von ${}R$ .

Definition:Kanonische Projektion

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],

heißt kanonische Projektion von ${}R$ .

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn ${}x^{-1}y\in H$ .

Definition:Nebenklassen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem ${}x\in G$ die Teilmenge

{}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$ . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

{}Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,

Rechtsnebenklasse (zu ${}x$ ).

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$ , geschrieben

\operatorname {ind} _{G}H.

Definition:Normalteiler

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Man nennt ${}H$ einen Normalteiler, wenn

{}xH=Hx\,

für alle ${}x\in G$ ist, wenn also die Linksnebenklasse zu ${}x$ mit der Rechtsnebenklasse zu ${}x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

G/H

mit der aufgrund von Satz 7.11 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$ . Die Elemente ${}[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$ .

Definition:Abbildungsmonoid

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Dann ist die Menge

{}\operatorname {Abb} \,(M)=\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}\,

der Abbildungen von ${}M$ in sich mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und mit der Identität als neutralem Element ein Monoid, das man das Abbildungsmonoid zu ${}M$ nennt.

Definition:Permutationsgruppe

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge

{}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu ${}M$ .

Definition:Zykel

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Man nennt ${}\pi$ einen Zykel der Ordnung ${}r$ (oder der Länge ${}r$ ), wenn es eine ${}r$ -elementige Teilmenge ${}Z\subseteq M$ derart gibt, dass ${}\pi$ auf ${}M\setminus Z$ die Identität ist und ${}\pi$ die Elemente aus ${}Z$ zyklisch vertauscht. Wenn ${}Z=\{z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\}$ ist, so schreibt man einfach

{}\pi =\langle z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\rangle \,.

Definition:Transposition

Eine Transposition auf einer endlichen Menge ${}M$ ist eine Permutation auf ${}M$ , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.

Definition:Zyklendarstellung

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$ . Es seien ${}Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ die Wirkungsbereiche der Zyklen von ${}\sigma$ mit ${}n_{i}={\#\left(Z_{i}\right)}$ . Es sei ${}x_{i}\in Z_{i}$ und ${}Z_{i}=\{x_{i},\sigma (x_{i}),\ldots ,\sigma ^{n_{i}-1}(x_{i})\}$ . Dann nennt man

\langle x_{1},\sigma (x_{1}),\ldots ,\sigma ^{n_{1}-1}(x_{1})\rangle \langle x_{2},\sigma (x_{2}),\ldots ,\sigma ^{n_{2}-1}(x_{2})\rangle \cdots \langle x_{k},\sigma (x_{k}),\ldots ,\sigma ^{n_{k}-1}(x_{k})\rangle

die Zyklendarstellung von ${}\sigma$ .

Definition:Signum

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Dann heißt die Zahl

{}\operatorname {sgn} (\pi )=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\,

das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation ${}\pi$ .

Definition:Fehlstand

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Dann heißt ein Indexpaar

{}i<j\,

ein Fehlstand von ${}\pi$ , wenn ${}\pi (i)>\pi (j)$ ist.

Definition:Alternierende Gruppe

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe

{}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Definition:Einfache Gruppe

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).

Definition:Determinante

Zu einer ${}n\times n$ - Matrix

{}M={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,

heißt

{}\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,

die Determinante von ${}M$ .

Definition:Isometrie

Eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$ heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ die Gleichheit

{}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,

gilt.

Definition:Eigentliche Isometrie

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.

Definition:Diedergruppe

Zu einem regelmäßigen ${}n$ -Eck ( ${}n\geq 2$ ) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe ${}D_{n}$ .

Definition:Halbachsenklassen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$ . Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes ${}g\neq \operatorname {Id}$ auftritt, eine Achse von ${}G$ . Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu ${}G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit ${}{\mathfrak {H}}(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen ${}H_{1},H_{2}\in {\mathfrak {H}}(G)$ heißen äquivalent, wenn es ein ${}g\in G$ mit ${}g(H_{1})=H_{2}$ gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.

Definition:Ring

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$ .

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$ . Dann nennt man

{}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,

den Binomialkoeffizienten „ ${}n$ über ${}k$ “.

Definition:Nichtnullteiler

Ein Element ${}a$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}b$ mit ${}ab=0$ gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Unterring

Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl ${}(S,+,0)$ eine Untergruppe von ${}(R,+,0)$ als auch ${}(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von ${}(R,\cdot ,1)$ ist.

Definition:Endomorphismenring

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Dann nennt man

{}\operatorname {End} G={\left\{\varphi :G\rightarrow G\mid \varphi {\text{ ist ein Gruppenhomomorphismus}}\right\}}\,

den Endomorphismenring zu ${}G$ . Er wird mit der Addition

{}(\varphi +\psi )(x):=\varphi (x)+\psi (x)\,

und der Hintereinanderschaltung als Multiplikation

{}\varphi \psi :=\varphi \circ \psi \,

versehen.

Definition:Einheit

Ein Element ${}u$ in einem Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit

{}uv=vu=1\,

gibt.

Definition:Einheitengruppe

Die Einheitengruppe in einem Ring ${}R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in ${}R$ . Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Unterkörper

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Unterring ${}M\subseteq K$ , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$ .

Definition:Körpererweiterung

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$ . Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

\varphi \colon R\longrightarrow S

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ .
${}\varphi (1)=1$ .
${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ .

Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$ . Die Charakteristik ist ${}0$ , falls keine solche Zahl existiert.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${}0\in {\mathfrak {a}}$ .
Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$ .
Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$ .

Definition:Hauptideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

{}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,

heißt Hauptideal.

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$ , ${}j\in J$ , in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$ . Zu ${}a\in R$ heißt die Teilmenge

{}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$ . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$ .

Definition:Restklassenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$ . Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$ .
Durch
${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

wird eine Addition von Nebenklassen definiert.
Durch
${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.
${}{\bar {0}}=0+I=I$ definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
${}{\bar {1}}=1+I$ definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

Definition:Produktring

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

R_{1}\times \cdots \times R_{n},

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ .

Definition:Idempotentes Element

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Definition:Eulersche ${}\varphi$ -Funktion

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$ . Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

mit

{}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}

,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

{}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

{}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$ .

Definition:Polynomfunktion

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ . Eine Funktion

P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),

mit

{}P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,

heißt Polynomfunktion.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$ . Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$ .

Definition:Assoziiert

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ . Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt ( ${}i=1,\ldots ,k$ ). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$ , so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.

Definition:Primitive Einheit

Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition:Multiplikatives System

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

${}1\in S$ ,
Wenn ${}f,g\in S$ , dann ist auch ${}fg\in S$ ,

gelten.

Definition:Primideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$ .

Definition:Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$ . Dann heißt die Menge der formalen Brüche

{}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\,

die Nenneraufnahme zu ${}S$ . Dabei werden zwei Brüche ${}{\frac {f}{g}}$ und ${}{\frac {s}{t}}$ miteinander identifiziert, wenn ${}ft=gs$ gilt. Die Nenneraufnahme ist ein kommutativer Ring mit der Addition

{}{\frac {f}{g}}+{\frac {s}{t}}={\frac {ft+gs}{tg}}\,

und der Multiplikation

{}{\frac {f}{g}}\cdot {\frac {s}{t}}={\frac {fs}{tg}}\,.

Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

{}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Definition:Algebra

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$ -Algebra.

Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$ - Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$ . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

\varphi \colon R\longrightarrow S

einen ${}K$ -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$ - Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Algebraisches Element

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$ , wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$ .

Definition:Erzeugte Algebra

Es sei ${}A$ eine ${}R$ - Algebra und sei ${}f_{i}\in A$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Elementen aus ${}A$ . Dann heißt die kleinste ${}R$ -Unteralgebra von ${}A$ , die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$ -Algebra.[[Kategorie:erzeugte ${}R$ -Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

{}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,

den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$ .

Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Definition:Zerfällungskörper

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$ . Dann nennt man

{}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,

einen Zerfällungskörper von ${}F$ .

Definition:Formale Ableitung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Zu einem Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom

{}F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,

die formale Ableitung von ${}F$ .

Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$ . Eine Gerade ${}G\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}P,Q\in M$ , ${}P\neq Q$ , derart gibt, dass die Verbindungsgerade von ${}P$ und ${}Q$ gleich ${}G$ ist. Ein Kreis ${}C\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$ , ${}Z\neq S$ , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$ . Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$ .
Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$ . Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

P_{1},\ldots ,P_{n}=P

derart gibt, dass ${}P_{i}$ jeweils aus ${}M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong E$ heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge ${}\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.