Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Definitionsliste

Definition:Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu  $x\in L$  eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

aus.

Definition:Injektiv

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente  $x,x^{\prime }\in L$  auch $F(x)$ und $F(x^{\prime })$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes  $y\in M$  mindestens ein Element  $x\in L$  mit

$F(x)=y$

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei

$F:M⟶L,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen $L$ und $M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

$L\times M=\{(x,y)\mid x\in L,y\in M\}$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Dann nennt man

$\Gamma ={\Gamma }_F=\{(x,F(x))\mid x\in L\}\subseteq L\times M$

den Graphen der Abbildung $F$.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$. Sie wird mit

$𝔓(M)$

bezeichnet.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼\circ (x,y)=x\circ y.$

Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M$

und einem ausgezeichneten Element  $e\in M$  derart, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

   $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

   für alle  $x,y,z\in M$. 

2. $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

   $x\circ e=x=e\circ x$

   für alle  $x\in M$. 

Definition:Gruppe

Ein Monoid $(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem  $x\in G$  ein  $y\in G$  mit  $x\circ y=e=y\circ x$  gibt.

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe $G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

$\mathrm{ord}(G)=\mathrm{\#}\left(G\right).$

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit  $g^n=e_G$  die Ordnung von $g$. Man schreibt hierfür $\mathrm{ord}(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man  $\mathrm{ord}(g)=\mathrm{\infty }$. 

Definition:Untergruppe

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  $H\subseteq G$  heißt Untergruppe von $G$, wenn Folgendes gilt.

1.  $e\in H$. 
2. Mit  $g,h\in H$  ist auch  $g\circ h\in H$. 
3. Mit  $g\in H$  ist auch  $g^{-1}\in H$. 

Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $M\subseteq G$  eine Teilmenge. Dann nennt man

$(M)=\bigcap _{M\subseteq H,H\text{Untergruppe}}H$

die von $M$ erzeugte Untergruppe.

Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition:Teilen (Z)

Man sagt, dass die ganze Zahl $a$ die ganze Zahl $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine ganze Zahl $c$ derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien $a_1,\dots ,a_k$ ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $t$ jedes $a_i$ teilt ($i=1,\dots ,k$).

Eine ganze Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.

Die Elemente $a_1,\dots ,a_k$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien zwei ganze Zahlen $a,b$ (mit $b\ne 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_0=a$ und $r_1=b$ und die mittels der Division mit Rest

$r_i=q_i{r}_{i+1}+r_{i+2}$

rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von ganzen Zahlen

$a_1,\dots ,a_n$

heißt eine ganze Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_i$ ist, also von jedem $a_i$ geteilt wird. Die Zahl $b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der $a_1,\dots ,a_n$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von $b$ ist.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien $(G,\circ ,e_G)$ und $(H,\circ ,e_H)$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi :G⟶H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

$\psi (g\circ g^{\prime })=\psi (g)\circ \psi (g^{\prime })$

für alle  $g,g^{\prime }\in G$  gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien $G$ und $H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\phi :G⟶H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Innerer Automorphismus

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung

${\kappa }_g:G⟶G,x⟼gx{g}^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von $\phi$, geschrieben

$\mathrm{kern}\phi ={\phi }^{-1}(e_H)=\{g\in G\mid \phi (g)=e_H\}.$

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also  $R\subseteq M\times M$. 

Definition:Relationseigenschaften

Es sei $M$ eine Menge und  $R\subseteq M\times M$  eine Relation auf $M$. Man nennt $R$

• reflexiv, wenn

 $(x,x)\in R$  gilt für alle  $x\in M$. 

• transitiv, wenn für beliebige

 $x,y,z\in M$  aus $(x,y)\in R$ und aus $(y,z)\in R$ stets  $(x,z)\in R$  folgt.

• symmetrisch, wenn für beliebige

 $x,y\in M$  aus  $(x,y)\in R$  auch  $(y,x)\in R$  folgt.

• antisymmetrisch, wenn für beliebige

 $x,y\in M$  aus $(x,y)\in R$ und $(y,x)\in R$ die Gleichheit  $x=y$  folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  $i\preccurlyeq i$  für alle  $i\in I$. 
2. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq k$  folgt stets  $i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq i$  folgt  $i=j$. 

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ ist eine Relation  $R\subseteq M\times M$,  die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).

1. Es ist  $x\sim x$  (reflexiv).
2. Aus  $x\sim y$  folgt  $y\sim x$  (symmetrisch).
3. Aus  $x\sim y$  und  $y\sim z$  folgt  $x\sim z$  (transitiv).

Dabei bedeutet  $x\sim y$,  dass das Paar $(x,y)$ zu $R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und  $x\in M$.  Dann ist

$[x]:=\{y\in M\mid (x,y)\in R\}$

die Äquivalenzklasse von $x$ bezüglich $R$.

Definition:Quotientenmenge

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

$M/R:=\{[x]\mid x\in M\}$

die Quotientenmenge von $R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und $M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_R:M⟶M/R,x⟼[x],$

heißt kanonische Projektion von $R$.

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Wir setzen  $x{\sim }_{H}y$  (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind), wenn  $x^{-1}y\in H$. 

Definition:Nebenklassen

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem  $x\in G$  die Teilmenge

$xH=\{xh\mid h\in H\}$

die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

$Hx=\{hx\mid h\in H\}$

Rechtsnebenklasse (zu $x$).

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe  $H\subseteq G$  heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von $H$ in $G$, geschrieben

${\mathrm{ind}}_{G}H.$

Definition:Normalteiler

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Man nennt $H$ einen Normalteiler, wenn

$xH=Hx$

für alle  $x\in G$  ist, wenn also die Linksnebenklasse zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 7.11 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente  $[g]\in G/H$  heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g^{\prime }\in G$ mit $[g^{\prime }]=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.

Definition:Abbildungsmonoid

Es sei $M$ eine beliebige Menge. Dann ist die Menge

$\mathrm{Abb}(M)=\mathrm{Abb}(M,M)$

der Abbildungen von $M$ in sich mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und mit der Identität als neutralem Element ein Monoid, das man das Abbildungsmonoid zu $M$ nennt.

Definition:Permutationsgruppe

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge

$\mathrm{Aut}(M)=\mathrm{Perm}(M)=\{\phi :M⟶M\mid \phi \text{ bijektiv}\}$

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu $M$.

Definition:Zyklus

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\pi$ eine Permutation auf $M$. Man nennt $\pi$ einen Zyklus der Ordnung $r$ (oder der Länge $r$), wenn es eine $r$-elementige Teilmenge  $Z\subseteq M$  derart gibt, dass $\pi$ auf $M\setminus Z$ die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht. Wenn  $Z=\{z,\pi (z),{\pi }^2(z),\dots ,{\pi }^{r-1}(z)\}$  ist, so schreibt man einfach

$\pi =⟨z,\pi (z),{\pi }^2(z),\dots ,{\pi }^{r-1}(z)⟩.$

Definition:Transposition

Eine Transposition auf einer endlichen Menge $M$ ist eine Permutation auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.

Definition:Zyklendarstellung

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\sigma$ eine Permutation auf $M$. Es seien $Z_1,\dots ,Z_k$ die Wirkungsbereiche der Zyklen von $\sigma$ mit  $n_i=\mathrm{\#}\left(Z_i\right)$.  Es sei  $x_i\in Z_i$  und  $Z_i=\{x_i,\sigma (x_i),\dots ,{\sigma }^{n_i-1}(x_i)\}$.  Dann nennt man

$⟨x_1,\sigma (x_1),\dots ,{\sigma }^{n_1-1}(x_1)⟩⟨x_2,\sigma (x_2),\dots ,{\sigma }^{n_2-1}(x_2)⟩\cdots ⟨x_k,\sigma (x_k),\dots ,{\sigma }^{n_k-1}(x_k)⟩$

die Zyklendarstellung von $\sigma$.

Definition:Signum

Es sei  $M=\{1,\dots ,n\}$  und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Dann heißt die Zahl

$\mathrm{sgn}(\pi )=\prod _{i<j}\frac{\pi (j)-\pi (i)}{j-i}$

das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation $\pi$.

Definition:Fehlstand

Es sei  $M=\{1,\dots ,n\}$  und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Dann heißt ein Indexpaar

$i<j$

ein Fehlstand von $\pi$, wenn  $\pi (i)>\pi (j)$  ist.

Definition:Alternierende Gruppe

Zu  $n\in \mathbb{N}$  heißt die Untergruppe

$A_n:=\{\sigma \in S_n\mid \mathrm{sgn}(\sigma )=1\}$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Definition:Einfache Gruppe

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).

Definition:Determinante

Zu einer $n\times n$-Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

heißt

$detM=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}$

die Determinante von $M$.

Definition:Isometrie

Eine lineare Abbildung

$\phi :V⟶V$

auf einem euklidischen Vektorraum $V$ heißt Isometrie, wenn für alle  $v,w\in V$  die Gleichheit

$⟨\phi (v),\phi (w)⟩=⟨v,w⟩$

gilt.

Definition:Eigentliche Isometrie

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.

Definition:Diedergruppe

Zu einem regelmäßigen $n$-Eck ($n\ge 2$) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe $D_n$.

Definition:Halbachsenklassen

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{SO}}_3(ℝ)$  eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im ${ℝ}^3$. Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes  $g\ne \mathrm{Id}$  auftritt, eine Achse von $G$. Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu $G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit $ℌ(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen  $H_1,H_2\in ℌ(G)$  heißen äquivalent, wenn es ein  $g\in G$  mit  $g(H_1)=H_2$  gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.

Definition:Ring

Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
2. $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle  $a,b,c\in R$. 

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen mit  $k\le n$.  Dann nennt man

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}):=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

den Binomialkoeffizienten „ $n$ über $k$ “.

Definition:Nichtnullteiler

Ein Element $a$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von $0$ verschiedenes Element $b$ mit  $ab=0$  gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Unterring

Eine Teilmenge  $S\subseteq R$  eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl $(S,+,0)$ eine Untergruppe von $(R,+,0)$ als auch $(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von $(R,\cdot ,1)$ ist.

Definition:Endomorphismenring

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Dann nennt man

$\mathrm{End}G=\{\phi :G\to G\mid \phi \text{ ist ein Gruppenhomomorphismus}\}$

den Endomorphismenring zu $G$. Er wird mit der Addition

$(\phi +\psi )(x):=\phi (x)+\psi (x)$

und der Hintereinanderschaltung als Multiplikation

$\phi \psi :=\phi \circ \psi$

versehen.

Definition:Einheit

Ein Element $u$ in einem Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element  $v\in R$  mit

$uv=vu=1$

gibt.

Definition:Einheitengruppe

Die Einheitengruppe in einem Ring $R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in $R$. Sie wird mit $R^{\times }$ bezeichnet.

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn  $R\ne 0$  ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Unterkörper

Es sei $K$ ein Körper. Ein Unterring  $M\subseteq K$,  der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von $K$.

Definition:Körpererweiterung

Es sei $L$ ein Körper und  $K\subseteq L$  ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion  $K\subseteq L$  heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Eine Abbildung

$\phi :R⟶S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$. 
2.  $\phi (1)=1$. 
3.  $\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)$. 

Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft  $n\cdot 1_R=0$.  Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge $𝔞$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  $0\in 𝔞$. 
2. Für alle  $a,b\in 𝔞$  ist auch  $a+b\in 𝔞$. 
3. Für alle  $a\in 𝔞$  und  $r\in R$  ist auch  $ra\in 𝔞$. 

Definition:Hauptideal

Ein Ideal $𝔞$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form

$𝔞=(a)=Ra=\{ra:r\in R\}$

heißt Hauptideal.

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen $a_j\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_j:j\in J)$ das von den $a_j$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_0}{r}_j{a}_j,$

wobei  $J_0\subseteq J$  eine endliche Teilmenge und  $r_j\in R$  sind.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $I\subseteq R$  ein Ideal in $R$. Zu  $a\in R$  heißt die Teilmenge

$a+I=\{a+f\mid f\in I\}$

die Nebenklasse von $a$ zum Ideal $I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu $I$.

Definition:Restklassenring

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $I\subseteq R$  ein Ideal in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist $R/I$ die Menge der Nebenklassen zu $I$.
2. Durch

   $(a+I)+(b+I):=(a+b+I)$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   $(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4.  $\overline{0}=0+I=I$  definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5.  $\overline{1}=1+I$  definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl  $n\ge 2$  heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.

Definition:Produktring

Es seien $R_1,\dots ,R_n$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_1\times \cdots \times R_n,$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der $R_i$, $i=1,\dots ,n$.

Definition:Idempotentes Element

Ein Element $e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  $e^2=e$  gilt.

Definition:Eulersche $\phi$-Funktion

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet $\phi \left(n\right)$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb{Z}/(n){)}^{\times }$. Man nennt $\phi \left(n\right)$ die Eulersche Funktion.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring $R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit $a_i\in R,i=0,\dots ,n,n\in \mathbb{N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

$X^n\cdot X^m:=X^{n+m}$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit  $a_n\ne 0$  ist $n$.

Definition:Polynomfunktion

Es sei $K$ ein Körper und seien  $a_0,a_1,\dots ,a_n\in K$.  Eine Funktion

$P:K⟶K,x⟼P(x),$

mit

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$

heißt Polynomfunktion.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein  $c\in R$  derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Definition:Assoziiert

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit  $u\in R$  derart gibt, dass  $a=ub$  ist.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $a_1,\dots ,a_k\in R$.  Dann heißt ein Element  $t\in R$  gemeinsamer Teiler der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $t$ jedes $a_i$ teilt ($i=1,\dots ,k$). Ein Element  $g\in R$  heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.

Die Elemente $a_1,\dots ,a_k$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung  $p=ab$  nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit  $p\ne 0$  in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn Folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit  $f\ne 0$  sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom  $F\in K[X]$  eine Nullstelle in $K$ besitzt.

Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent $\exp \left(G\right)$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass  $x^n=1$  für alle  $x\in G$  ist.

Definition:Primitive Einheit

Eine Einheit  $u\in {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$  heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition:Multiplikatives System

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge  $S\subseteq R$  heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1.  $1\in S$, 
2. Wenn  $f,g\in S$,  dann ist auch  $fg\in S$, 

gelten.

Definition:Primideal

Ein Ideal $𝔭$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn  $𝔭\ne R$  ist und wenn für  $r,s\in R$  mit  $r\cdot s\in 𝔭$  folgt:  $r\in 𝔭$  oder  $s\in 𝔭$. 

Definition:Nenneraufnahme

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System,  $0\notin S$.  Dann heißt die Menge der formalen Brüche

$R_S:=\{\frac{f}{g}\mid f\in R,g\in S\}$

die Nenneraufnahme zu $S$. Dabei werden zwei Brüche $\frac{f}{g}$ und $\frac{s}{t}$ miteinander identifiziert, wenn  $ft=gs$  gilt. Die Nenneraufnahme ist ein kommutativer Ring mit der Addition

$\frac{f}{g}+\frac{s}{t}=\frac{ft+gs}{tg}$

und der Multiplikation

$\frac{f}{g}\cdot \frac{s}{t}=\frac{fs}{tg}.$

Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

$Q(R)=\{\frac{r}{s}\mid r,s\in R,s\ne 0\}$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Definition:Algebra

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R\to A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$-Algebra.

Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\phi :R⟶S$

einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\to R$ und $K\to S$ verträglich ist.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$-Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Algebraisches Element

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$  gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.

Definition:Erzeugte Algebra

Es sei $A$ eine $R$-Algebra und sei $f_i\in A$, $i\in I$, eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_i$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte $R$-Algebra. Sie wird mit $R[f_i,i\in I]$ bezeichnet.

Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

$M=\{x\in L\mid x\text{ ist algebraisch über }K\}$

den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.

Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Definition:Zerfällungskörper

Es sei $K$ ein Körper,  $F\in K[X]$  ein Polynom und  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien  $a_1,\dots ,a_n\in L$  die Nullstellen von $F$. Dann nennt man

$K[a_1,\dots ,a_n]\subseteq L$

einen Zerfällungskörper von $F$.

Definition:Formale Ableitung

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zu einem Polynom  $F=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\in K[X]$  heißt das Polynom

$F^{\prime }=n{a}_n{X}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{X}^{n-2}+\cdots +3a_3{X}^2+2a_{2}X+a_1$

die formale Ableitung von $F$.

Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei  $M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene $E$. Eine Gerade  $G\subseteq E$  heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $P,Q\in M$, $P\ne Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von $P$ und $Q$ gleich $G$ ist. Ein Kreis  $C\subseteq E$  heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\ne S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.

Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei  $M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt  $P\in E$  aus $M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Geraden $G_1$ und $G_2$ mit  $G_1\cap G_2=\{P\}$. 
2. Es gibt eine aus $M$ elementar konstruierbare Gerade $G$ und einen aus $M$ elementar konstruierbaren Kreis $C$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt von $G$ und $C$ ist.
3. Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Kreise $C_1$ und $C_2$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei  $M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt  $P\in E$  aus $M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_1,\dots ,P_n=P$

derart gibt, dass $P_i$ jeweils aus $M\cup \{P_1,\dots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl  $z\in ℂ\cong E$  heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge  $\{0,1\}\subset ℝ\subset ℂ$  mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Definition:Einheitswurzeln

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^n-1$

in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.

Definition:Primitive Einheitswurzel

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.

Definition:Kreisteilungskörper

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^n-1$

über $\mathbb{Q}$.

Definition:Einfache Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt einfach, wenn es ein Element  $x\in L$  mit

$L=K(x)$

gibt.

Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und seien $z_1,\dots ,z_{\phi \left(n\right)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${\mathrm{\Phi }}_n=\prod _{i=1}^{\phi \left(n\right)}(X-z_i)\in ℂ[X]$

das $n$-te Kreisteilungspolynom.

Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

$e^{2\pi \mathrm{i}/n}=\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$

eine konstruierbare Zahl ist.

Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form $2^s+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Definition:Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form $2^{2^r}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.