Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Definitionsliste

Definition:Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Definition:Injektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$. Sie wird mit

${\mathfrak {P}}\,(M)$

bezeichnet.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

   ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

   für alle ${}x,y,z\in M$.

2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

   ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

   für alle ${}x\in M$.

Definition:Gruppe

Ein Monoid ${}(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in G$ ein ${}y\in G$ mit ${}x\circ y=e=y\circ x$ gibt.

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

${}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

Definition:Untergruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M\subseteq G$ eine Teilmenge. Dann nennt man

${}(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H\,{\text{Untergruppe}}}H\,$

die von ${}M$ erzeugte Untergruppe.

Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition:Teilen (Z)

Man sagt, dass die ganze Zahl ${}a$ die ganze Zahl ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es eine ganze Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl ${}t$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$).

Eine ganze Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien zwei ganze Zahlen ${}a,b$ (mit ${}b\neq 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von ganzen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{n}$

heißt eine ganze Zahl ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird. Die Zahl ${}b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ${}b$ ist.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Innerer Automorphismus

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

$\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.

Definition:Relationseigenschaften

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}R\subseteq M\times M$ eine Relation auf ${}M$. Man nennt ${}R$

• reflexiv, wenn

${}(x,x)\in R$ gilt für alle ${}x\in M$.

• transitiv, wenn für beliebige

${}x,y,z\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und aus ${}(y,z)\in R$ stets ${}(x,z)\in R$ folgt.

• symmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ auch ${}(y,x)\in R$ folgt.

• antisymmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und ${}(y,x)\in R$ die Gleichheit ${}x=y$ folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$, dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}x\in M$. Dann ist

${}[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,$

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$.

Definition:Quotientenmenge

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

${}M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

die Quotientenmenge von ${}R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],$

heißt kanonische Projektion von ${}R$.

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn ${}x^{-1}y\in H$.

Definition:Nebenklassen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem ${}x\in G$ die Teilmenge

${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

${}Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$

Rechtsnebenklasse (zu ${}x$).

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$, geschrieben

$\operatorname {ind} _{G}H.$

Definition:Normalteiler

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Man nennt ${}H$ einen Normalteiler, wenn

${}xH=Hx\,$

für alle ${}x\in G$ ist, wenn also die Linksnebenklasse zu ${}x$ mit der Rechtsnebenklasse zu ${}x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 7.11 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente ${}[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Definition:Abbildungsmonoid

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Dann ist die Menge

${}\operatorname {Abb} \,(M)=\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}\,$

der Abbildungen von ${}M$ in sich mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und mit der Identität als neutralem Element ein Monoid, das man das Abbildungsmonoid zu ${}M$ nennt.

Definition:Permutationsgruppe

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge

${}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu ${}M$.

Definition:Zykel

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Man nennt ${}\pi$ einen Zykel der Ordnung ${}r$ (oder der Länge ${}r$), wenn es eine ${}r$-elementige Teilmenge ${}Z\subseteq M$ derart gibt, dass ${}\pi$ auf ${}M\setminus Z$ die Identität ist und ${}\pi$ die Elemente aus ${}Z$ zyklisch vertauscht. Wenn ${}Z=\{z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\}$ ist, so schreibt man einfach

${}\pi =\langle z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\rangle \,.$

Definition:Transposition

Eine Transposition auf einer endlichen Menge ${}M$ ist eine Permutation auf ${}M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.

Definition:Zyklendarstellung

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$. Es seien ${}Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ die Wirkungsbereiche der Zyklen von ${}\sigma$ mit ${}n_{i}={\#\left(Z_{i}\right)}$. Es sei ${}x_{i}\in Z_{i}$ und ${}Z_{i}=\{x_{i},\sigma (x_{i}),\ldots ,\sigma ^{n_{i}-1}(x_{i})\}$. Dann nennt man

$\langle x_{1},\sigma (x_{1}),\ldots ,\sigma ^{n_{1}-1}(x_{1})\rangle \langle x_{2},\sigma (x_{2}),\ldots ,\sigma ^{n_{2}-1}(x_{2})\rangle \cdots \langle x_{k},\sigma (x_{k}),\ldots ,\sigma ^{n_{k}-1}(x_{k})\rangle$

die Zyklendarstellung von ${}\sigma$.

Definition:Signum

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Dann heißt die Zahl

${}\operatorname {sgn} (\pi )=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\,$

das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation ${}\pi$.

Definition:Fehlstand

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Dann heißt ein Indexpaar

${}i<j\,$

ein Fehlstand von ${}\pi$, wenn ${}\pi (i)>\pi (j)$ ist.

Definition:Alternierende Gruppe

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe

${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Definition:Einfache Gruppe

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).

Definition:Determinante

Zu einer ${}n\times n$- Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

heißt

${}\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,$

die Determinante von ${}M$.

Definition:Isometrie

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$ heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ die Gleichheit

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$

gilt.

Definition:Eigentliche Isometrie

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.

Definition:Diedergruppe

Zu einem regelmäßigen ${}n$-Eck (${}n\geq 2$) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe ${}D_{n}$.

Definition:Halbachsenklassen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes ${}g\neq \operatorname {Id}$ auftritt, eine Achse von ${}G$. Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu ${}G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit ${}{\mathfrak {H}}(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen ${}H_{1},H_{2}\in {\mathfrak {H}}(G)$ heißen äquivalent, wenn es ein ${}g\in G$ mit ${}g(H_{1})=H_{2}$ gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.

Definition:Ring

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
2. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$.

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$. Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „${}n$ über ${}k$ “.

Definition:Nichtnullteiler

Ein Element ${}a$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}b$ mit ${}ab=0$ gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Unterring

Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl ${}(S,+,0)$ eine Untergruppe von ${}(R,+,0)$ als auch ${}(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von ${}(R,\cdot ,1)$ ist.

Definition:Endomorphismenring

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Dann nennt man

${}\operatorname {End} G={\left\{\varphi :G\rightarrow G\mid \varphi {\text{ ist ein Gruppenhomomorphismus}}\right\}}\,$

den Endomorphismenring zu ${}G$. Er wird mit der Addition

${}(\varphi +\psi )(x):=\varphi (x)+\psi (x)\,$

und der Hintereinanderschaltung als Multiplikation

${}\varphi \psi :=\varphi \circ \psi \,$

versehen.

Definition:Einheit

Ein Element ${}u$ in einem Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit

${}uv=vu=1\,$

gibt.

Definition:Einheitengruppe

Die Einheitengruppe in einem Ring ${}R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in ${}R$. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Unterkörper

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Unterring ${}M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$.

Definition:Körpererweiterung

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Definition:Hauptideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zu ${}a\in R$ heißt die Teilmenge

${}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$.

Definition:Restklassenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$.
2. Durch

   ${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   ${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4. ${}{\bar {0}}=0+I=I$ definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5. ${}{\bar {1}}=1+I$ definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

Definition:Produktring

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Definition:Idempotentes Element

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Definition:Eulersche ${}\varphi$-Funktion

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Definition:Polynomfunktion

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Eine Funktion

$P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),$

mit

${}P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,$

heißt Polynomfunktion.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Assoziiert

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.

Definition:Primitive Einheit

Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition:Multiplikatives System

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1. ${}1\in S$,
2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$,

gelten.

Definition:Primideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$.

Definition:Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$. Dann heißt die Menge der formalen Brüche

${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\,$

die Nenneraufnahme zu ${}S$. Dabei werden zwei Brüche ${}{\frac {f}{g}}$ und ${}{\frac {s}{t}}$ miteinander identifiziert, wenn ${}ft=gs$ gilt. Die Nenneraufnahme ist ein kommutativer Ring mit der Addition

${}{\frac {f}{g}}+{\frac {s}{t}}={\frac {ft+gs}{tg}}\,$

und der Multiplikation

${}{\frac {f}{g}}\cdot {\frac {s}{t}}={\frac {fs}{tg}}\,.$

Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Definition:Algebra

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Algebraisches Element

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Definition:Erzeugte Algebra

Es sei ${}A$ eine ${}R$- Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra.[[Kategorie:erzeugte ${}R$-Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

${}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$

den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Definition:Zerfällungskörper

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

einen Zerfällungskörper von ${}F$.

Definition:Formale Ableitung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zu einem Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom

${}F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$

die formale Ableitung von ${}F$.

Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Eine Gerade ${}G\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}P,Q\in M$, ${}P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von ${}P$ und ${}Q$ gleich ${}G$ ist. Ein Kreis ${}C\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_{1},\ldots ,P_{n}=P$

derart gibt, dass ${}P_{i}$ jeweils aus ${}M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong E$ heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge ${}\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Definition:Einheitswurzeln

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

in ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$.

Definition:Primitive Einheitswurzel

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Definition:Kreisteilungskörper

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Definition:Einfache Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element ${}x\in L$ mit

${}L=K(x)\,$

gibt.

Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Man sagt, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$

eine konstruierbare Zahl ist.

Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Definition:Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$, wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.