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Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Definitionsliste

Aus Wikiversity
Definition:Abbildung

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.



Definition:Injektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.



Definition:Surjektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.



Definition:Bijektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.



Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.



Definition:Graph einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann nennt man

den Graphen der Abbildung .



Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung

und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

    für alle .

  2. ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

    für alle .



Definition:Gruppe

Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.



Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben



Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .



Definition:Untergruppe

Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .


Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann nennt man

die von erzeugte Untergruppe.



Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.



Definition:Teilen (Z)

Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt ().

Eine ganze Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.

Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.



Definition:Euklidische Restfolge

Es seien zwei ganze Zahlen (mit ) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.



Definition:Gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von ganzen Zahlen

heißt eine ganze Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird. Die Zahl heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ist.



Definition:Gruppenhomomorphismus

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.



Definition:Gruppenisomorphismus

Seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.



Definition:Innerer Automorphismus

Es sei eine Gruppe und fixiert. Die durch definierte Abbildung

heißt innerer Automorphismus.



Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben



Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Relationseigenschaften

Es sei eine Menge und eine Relation auf . Man nennt

    • reflexiv, wenn

    gilt für alle .

    • transitiv, wenn für beliebige

    aus und aus stets folgt.

    • symmetrisch, wenn für beliebige

    aus auch folgt.

    • antisymmetrisch, wenn für beliebige

    aus und die Gleichheit folgt.



    Definition:Ordnungsrelation

    Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .


    Definition:Äquivalenzrelation

    Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

    1. Es ist (reflexiv).
    2. Aus folgt (symmetrisch).
    3. Aus und folgt (transitiv).

    Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.



    Definition:Äquivalenzklasse

    Es sei eine Äquivalenzrelation und . Dann ist

    die Äquivalenzklasse von bezüglich .



    Definition:Quotientenmenge

    Sei eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

    die Quotientenmenge von .



    Definition:Kanonische Projektion

    Es sei eine Äquivalenzrelation und die Quotientenmenge. Die Abbildung

    heißt kanonische Projektion von .



    Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

    Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .



    Definition:Nebenklassen

    Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge

    die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

    Rechtsnebenklasse (zu ).



    Definition:Index (Untergruppe)

    Zu einer Untergruppe heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von in , geschrieben



    Definition:Normalteiler

    Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn

    für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.



    Definition:Restklassengruppe

    Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

    mit der aufgrund von Satz 7.11 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .



    Definition:Abbildungsmonoid

    Es sei eine beliebige Menge. Dann ist die Menge

    der Abbildungen von in sich mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und mit der Identität als neutralem Element ein Monoid, das man das Abbildungsmonoid zu nennt.



    Definition:Permutationsgruppe

    Zu einer Menge nennt man die Menge

    der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu .



    Definition:Zykel

    Es sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Man nennt einen Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht. Wenn ist, so schreibt man einfach



    Definition:Transposition

    Eine Transposition auf einer endlichen Menge ist eine Permutation auf , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.



    Definition:Zyklendarstellung

    Es sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Es seien die Wirkungsbereiche der Zyklen von mit . Es sei und . Dann nennt man

    die Zyklendarstellung von .



    Definition:Signum

    Es sei und sei eine Permutation auf . Dann heißt die Zahl

    das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation .



    Definition:Fehlstand

    Es sei und sei eine Permutation auf . Dann heißt ein Indexpaar

    ein Fehlstand, wenn ist.



    Definition:Alternierende Gruppe

    Zu heißt die Untergruppe

    der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.



    Definition:Einfache Gruppe

    Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).



    Definition:Determinante

    Zu einer - Matrix

    heißt

    die Determinante von .



    Definition:Isometrie

    Eine lineare Abbildung

    auf einem euklidischen Vektorraum heißt Isometrie, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.



    Definition:Eigentliche Isometrie

    Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.



    Definition:Diedergruppe

    Zu einem regelmäßigen -Eck () heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe .



    Definition:Halbachsenklassen

    Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im . Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes auftritt, eine Achse von . Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu gehörige Halbachsensystem. Es wird mit bezeichnet. Zwei Halbachsen heißen äquivalent, wenn es ein mit gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.



    Definition:Ring

    Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

    1. ist eine abelsche Gruppe.
    2. ist ein Monoid.
    3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .


    Definition:Kommutativer Ring

    Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.



    Definition:Binomialkoeffizient

    Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

    den Binomialkoeffizienten über “.



    Definition:Nichtnullteiler

    Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nullteiler, wenn es ein von verschiedenes Element mit gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.



    Definition:Integritätsbereich

    Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.



    Definition:Unterring

    Eine Teilmenge eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl eine Untergruppe von als auch ein Untermonoid von ist.



    Definition:Endomorphismenring

    Es sei eine kommutative Gruppe. Dann nennt man

    den Endomorphismenring zu . Er wird mit der Addition

    und der Hintereinanderschaltung als Multiplikation

    versehen.



    Definition:Einheit

    Ein Element in einem Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit

    gibt.



    Definition:Einheitengruppe

    Die Einheitengruppe in einem Ring ist die Teilmenge aller Einheiten in . Sie wird mit bezeichnet.



    Definition:Körper

    Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.



    Definition:Unterkörper

    Es sei ein Körper. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .



    Definition:Körpererweiterung

    Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.



    Definition:Ringhomomorphismus

    Es seien und Ringe. Eine Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
    2. .
    3. .


    Definition:Charakteristik

    Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.



    Definition:Ideal

    Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

    1. .
    2. Für alle ist auch .
    3. Für alle und ist auch .


    Definition:Hauptideal

    Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

    heißt Hauptideal.



    Definition:Erzeugtes Ideal

    Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

    wobei eine endliche Teilmenge und ist.



    Definition:Nebenklasse (Ideal)

    Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zu heißt die Teilmenge

    die Nebenklasse von zum Ideal . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu .



    Definition:Restklassenring

    Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist der Restklassenring (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

    1. Als Menge ist die Menge der Nebenklassen zu .
    2. Durch

      wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

    3. Durch

      wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

    4. definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
    5. definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).


    Definition:Hauptidealbereich

    Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.



    Definition:Primzahl

    Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.



    Definition:Produktring

    Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

    versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .



    Definition:Idempotentes Element

    Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.



    Definition:Eulersche -Funktion

    Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.



    Definition:Polynomring

    Der Polynomring über einem kommutativen Ring besteht aus allen Polynomen

    mit ,

    und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.



    Definition:Grad eines Polynoms

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .



    Definition:Polynomfunktion

    Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion

    mit

    heißt Polynomfunktion.



    Definition:Teilen (kommutativer Ring)

    Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



    Definition:Assoziiert

    Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.



    Definition:Gemeinsamer Teiler

    Es sei ein kommutativer Ring und . Dann heißt ein Element gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt (). Ein Element heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.

    Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.



    Definition:Irreduzibles Element

    Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.



    Definition:Primelement

    Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.



    Definition:Faktorieller Bereich

    Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.



    Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

    Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.



    Definition:Exponent einer Gruppe

    Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.



    Definition:Primitive Einheit

    Eine Einheit heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.



    Definition:Endlicher Körper

    Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.



    Definition:Multiplikatives System

    Es sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

    1. ,
    2. Wenn , dann ist auch ,

    gelten.



    Definition:Primideal

    Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



    Definition:Nenneraufnahme

    Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, . Dann heißt die Menge der formalen Brüche

    die Nenneraufnahme zu . Dabei werden zwei Brüche und identifiziert, wenn gilt. Die Nenneraufnahme ist ein kommutativer Ring mit der Addition

    und der Multiplikation



    Definition:Quotientenkörper

    Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

    mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.



    Definition:Algebra

    Seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.



    Definition:Algebrahomomorphismus

    Es seien und kommutative - Algebren über einem kommutativen Grundring . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

    einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.



    Definition:Endliche Körpererweiterung

    Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.



    Definition:Grad einer Körpererweiterung

    Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.



    Definition:Algebraisches Element

    Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.



    Definition:Minimalpolynom

    Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .



    Definition:Erzeugte Algebra

    Es sei eine -Algebra und sei , , eine Familie von Elementen aus . Dann heißt die kleinste -Unteralgebra von , die alle enthält, die von diesen Elementen erzeugte -Algebra.[[Kategorie:erzeugte -Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit bezeichnet.



    Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

    Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

    den algebraischen Abschluss von in .



    Definition:Quadratische Körpererweiterung

    Eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.



    Definition:Zerfällungskörper

    Es sei ein Körper, ein Polynom und eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man

    einen Zerfällungskörper von .



    Definition:Formale Ableitung

    Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zu einem Polynom heißt das Polynom

    die formale Ableitung von .



    Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

    Es sei eine Teilmenge der Ebene . Eine Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass die Verbindungsgerade von und gleich ist. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.



    Definition:Konstruierbar in einem Schritt

    Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

    1. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden und mit .
    2. Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von und ist.
    3. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise und derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.


    Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

    Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

    gibt derart, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.



    Definition:Konstruierbare Zahl

    Eine Zahl heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



    Definition:Einheitswurzeln

    Es sei ein Körper und . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

    in die -ten Einheitswurzeln in .



    Definition:Primitive Einheitswurzel

    Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.



    Definition:Kreisteilungskörper

    Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

    über .



    Definition:Einfache Körpererweiterung

    Eine Körpererweiterung , heißt einfach, wenn es ein Element mit

    gibt.



    Definition:Kreisteilungspolynom

    Es sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

    das -te Kreisteilungspolynom.



    Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

    Es sei . Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

    eine konstruierbare Zahl ist.



    Definition:Fermatsche Primzahl

    Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.



    Definition:Fermat-Zahl

    Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.