Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 17/latex

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\setcounter{section}{17}

Wir wollen für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper zeigen, dass dort viele wichtige Sätze, die für den Ring der ganzen Zahlen gelten, ebenfalls Gültigkeit haben. Dass ein Hauptidealbereich vorliegt, haben wir schon gesehen. Es gilt aber auch wieder der euklidische Algorithmus und die eindeutige Primfaktorzerlegung. Um diese adäquat formulieren zu können, brauchen wir einige Vorbereitungen zur allgemeinen Teilbarkeitslehre.






\zwischenueberschrift{Teilbarkeitsbegriffe}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ \definitionswort {teilt}{} \zusatzklammer {oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein \definitionswort {Vielfaches}{} von $a$ ist} {} {,} wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{ c \cdot a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Man schreibt dafür auch
\mathl{a {{|}} b}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Verschiedene Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

In einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen. \aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 \, {{|}}\, a}{} und
\mathl{a \,{{|}}\, a}{.} }{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a \,{{|}}\, 0}{.} }{Gilt
\mathl{a \,{{|}}\, b}{} und
\mathl{b \,{{|}}\, c}{,} so gilt auch
\mathl{a \,{{|}}\, c}{.} }{Gilt
\mathl{a \,{{|}}\, b}{} und
\mathl{c \,{{|}}\, d}{,} so gilt auch
\mathl{ac \,{{|}}\, bd}{.} }{Gilt
\mathl{a \,{{|}}\, b}{,} so gilt auch
\mathl{ac \,{{|}}\, bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.} }{Gilt
\mathl{a \,{{|}}\, b}{} und
\mathl{a \,{{|}}\, c}{,} so gilt auch
\mathl{a \,{{|}}\, rb+sc}{} für beliebige Elemente $r,s \in R$. }

}
{ Siehe Aufgabe 17.5. }


Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

\inputfaktbeweistrivial
{Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeit/Hauptidealcharakterisierung und Einheiten/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{a,b \in R}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Das Element $a$ ist ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $b$ (also
\mathl{a {{|}} b}{),} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.} }{$a$ ist eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.} }{Jede Einheit teilt jedes Element. }{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}


}





\inputdefinition
{}
{

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißen \definitionswort {assoziiert}{,} wenn es eine \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ub }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe 17.2. In
\mathl{R=\Z}{} sind zwei Zahlen genau dann zueinander assoziiert, wenn ihr Betrag übereinstimmt. Bei
\mathl{R=K[X]}{} sind zwei Polynome zueinander assoziiert, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar
\mathbed {\lambda \in K} {}
{\lambda \neq 0} {}
{} {} {} {,} ineinander übergehen. Durch diese Operation kann man erreichen, dass der Leitkoeffizient eins wird. Jedes Polynom ist also assoziiert zu einen normierten Polynom.

Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Ideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{

In einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen. \aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{,} so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. } {Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a) }
{ =} {(b) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn $a$ und $b$ assoziiert sind. }

}
{Siehe Aufgabe 17.6.}





\inputdefinition
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{.} Dann heißt ein Element
\mathl{t \in R}{} \definitionswort {gemeinsamer Teiler}{} der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{,} wenn $t$ jedes $a_i$ teilt \zusatzklammer {$i=1 , \ldots , k$} {} {.} Ein Element
\mathl{g \in R}{} heißt \definitionswort {größter gemeinsamer Teiler}{} der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{,} wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.

Die Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} heißen \definitionswort {teilerfremd}{}, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

}






\inputbemerkung
{}
{

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist $t$ ein gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} und $u$ eine Einheit, so ist auch $ut$ ein gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1, \ldots ,a_k}{.} Die Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} sind \stichwort {teilerfremd} {} genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist \zusatzklammer {es gibt noch andere Definitionen von teilerfremd, die nicht immer inhaltlich mit dieser übereinstimmen} {} {.}

}





\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{(a_1 , \ldots , a_k ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das davon \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{.} Ein Element
\mathl{t \in R}{} ist ein \definitionsverweis {gemeinsamer Teiler}{}{} von
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} genau dann, wenn
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (t)}{} ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes
\mathl{s \in R}{} mit
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (s)}{} folgt, dass
\mathl{(t) \subseteq (s)}{} ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${\mathfrak a}$.

}
{

Aus
\mathl{{\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k ) \subseteq (t)}{} folgt sofort
\mathl{(a_i) \subseteq (t)}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , k}{,} was gerade bedeutet, dass $t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist
\mathl{a_i \in (t)}{} und da
\mathl{{\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k )}{} das kleinste Ideal ist, das alle $a_i$ enthält, muss
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (t)}{} gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

}







\zwischenueberschrift{Irreduzibel und prim}

Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Nichteinheit}{}{} $p$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} heißt \definitionswort {irreduzibel}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {unzerlegbar}{}} {} {,} wenn eine Faktorisierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{ ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

}

Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort \anfuehrung{prim}{} in der folgenden Definition auf.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {prim}{} \zusatzklammer {oder ein \definitionswort {Primelement}{}} {} {,} wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt
\mathbed {ab} {mit}
{a,b \in R} {}
{} {} {} {,} so teilt $p$ einen der Faktoren.

}

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie \anfuehrung{zu schlecht}{} ist, sondern weil sie \anfuehrung{zu gut}{} ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.





\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{

In einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} stets \definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}

}
{

Angenommen, wir haben eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ps }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{psb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(1-sb) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{sb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass also $b$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}







\zwischenueberschrift{Teilbarkeitslehre in Hauptidealbereichen}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealring}{}{.} Dann gilt:

Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mathl{r_1 , \ldots , r_n \in R}{} mit
\mathl{r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n=d}{.}

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Darstellung der $1$.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit
\mathl{I=( d)}{.} Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} ist. Die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_i) }
{ \subseteq }{ I }
{ = }{ (d) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{.} Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (d) }
{ = }{I }
{ \subseteq }{(e) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was wiederum
\mathl{e {{|}} d}{} bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus
\mathl{d \in I=(a_1, \ldots ,a_n)}{.}

Im teilerfremden Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ = }{R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}







\inputbemerkung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Dies ist ein Hauptidealbereich und daher gibt es zu gegebenen Polynomen
\mathl{P_1, P_2, \ldots , P_n}{} einen größten gemeinsamen Teiler, und diesen kann man darstellen als Linearkombination der gegebenen Polynome. Es gibt sogar ein effektives Verfahren, eine solche Darstellung explizit zu finden, das man \zusatzklammer {wie bei den ganzen Zahlen $\Z$} {} {} den \stichwort {euklidischen Algorithmus} {} nennt. Wir beschränken uns auf den Fall von zwei Polynomen \mathkor {} {F} {und} {G} {.} Man führt nun sukzessive eine \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} durch und erhält zunächst
\mathdisp {F=Q_1G+R_1} { . }
Dann erhält man
\mathdisp {G=Q_2R_1+R_2,\, R_1=Q_3R_2+R_3, \,} { }
usw., bis schließlich der Rest
\mathl{R_k=0}{} ist. Dieser Fall muss letztlich eintreten, da sich bei jedem Divisionsschritt der Grad der Reste reduziert. Der vorletzte Rest ist dann der größte gemeinsame Teiler, und man kann durch Zurückrechnen entlang der Gleichungen eine Darstellung dieses ggTs mit \mathkor {} {F} {und} {G} {} finden.

}





\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt}
{}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.

}
{

Da \mathkor {} {a} {und} {b} {} teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra+sb }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc }
{ = }{da }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} {c1 }
{ =} {c(ra+sb) }
{ =} {cra +csb }
{ =} {acr +ads }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {a(cr+ds) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,} was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.

}






\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist ein Element genau dann \definitionsverweis {prim}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Lemma 17.11 stets irreduzibel. Sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{pc }
{ = }{ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p) }
{ \subset }{ (p,a) }
{ = }{(d) }
{ \subset }{ R }
{ }{ }
} {}{}{} der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.

}






\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{

In einem \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} lässt sich jede \definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} Elementen darstellen.

}
{

Angenommen, jede Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{p_1 \cdots p_k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette
\mathl{a_1 =a, a_2, a_3, \ldots}{,} wobei
\mathl{a_{n+1}}{} ein nicht-trivialer Teiler von $a_n$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1) }
{ \subset} { (a_2) }
{ \subset} {(a_3) }
{ \subset} { \cdots }
{ } { }
} {}{}{.} Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ***** ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

}



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