Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{3}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+2X^{2}+X+2$ und ${}Q=2X^{2}+1$.

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element. Zeige, dass ${}f$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(f)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom ${}P$ durch ${}X^{m}$ teilt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${}R$:

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1|a$ und ${}a|a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a|0$.
3. Gilt ${}a|b$ und ${}b|c$, so gilt auch ${}a|c$.
4. Gilt ${}a|b$ und ${}c|d$, so gilt auch ${}ac|bd$.
5. Gilt ${}a|b$, so gilt auch ${}ac|bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a|b$ und ${}a|c$, so gilt auch ${}a|rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Integritätsbereich ${}R$ zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ genau dann assoziiert sind, wenn für die Hauptideale ${}Ra=Rb$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}R[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form ${}X+c$ ein Primelement ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form ${}aX+c$ nicht gelten muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und ${}(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$.

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und ${}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Unterring

$R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X].$

Zeige, dass die Elemente ${}X^{2}$ und ${}X^{3}$ in ${}R$ irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]$ der von ${}\mathbb {Z}$ und ${}2/3$ erzeugte Unterring von ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass ${}R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von ${}3$ im Nenner schreiben lassen.