Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und sei , , ein Element. Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Integritätsbereich zwei Elemente und genau dann assoziiert sind, wenn für die Hauptideale gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und sei der Polynomring darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form ein Primelement ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form nicht gelten muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Unterring

Zeige, dass die Elemente und in irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.



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