Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Algebren}




\inputdefinition
{}
{

Seien \mathkor {} {R} {und} {A} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {} {R} {A } {} ein fixierter \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man $A$ eine \definitionswort {$R$-Algebra}{.}

} Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring $R[X]$ eine $R$-Algebra, indem man die Elemente aus $R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine $\Z$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus \maabbele {} {\Z} {R } {n} {n_R } {.} Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe $A$ \zusatzklammer {bei kommutativem Grundring $R$} {} {} sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus $R$ mit allen Elementen aus $A$ vertauschen.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring $R$ ein Körper $K$ ist. Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass $\Q$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,} gegeben ist. Dann ist $L$ über die Inklusion direkt eine $\Q$-Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.


\inputdefinition
{ }
{

Seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} einen \definitionswortpraemath {K}{ Algebrahomomorphismus }{,} wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen \maabb {} {K} {R } {} und \maabb {} {K} {S } {} verträglich ist.

}

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein $\Z$-Algebra-Homomorphismus, da es zu jedem Ring $A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus \maabb {} {\Z} {A } {} gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus \zusatzklammer {siehe Vorlesung 16} {} {} jetzt so verstehen, dass der Polynomring
\mathl{R[X]}{} mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere $R$-Algebra $A$ mit einem fixierten Element
\mathl{a \in A}{} vorliegt und dass dann durch
\mathl{X \mapsto a}{} ein $R$-Algebra-Homomorphismus \maabb {} {R[X]} {A } {} definiert wird.






\zwischenueberschrift{Rechnen in $K[X]/(P)$}

Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.





\inputfaktbeweis
{Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i} }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Rechenregeln \zusatzklammer {wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Man kann stets $P$ als normiert annehmen \zusatzklammer {also \mathlk{a_n=1}{;} das werden wir im Folgenden tun} {} {.} }{In $R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^n }
{ = }{- \sum_{i = 0}^{n-1} a_ix^{i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Höhere Potenzen
\mathbed {x^k} {}
{k\geq n} {}
{} {} {} {,} kann man mit den Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,} ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert. }{Die Potenzen $x^0=1,\, x^1$ $, \ldots , x^{n-1}$ bilden eine $K$-Basis von $R$. }{$R$ ist ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. }{In $R$ werden zwei Elemente \mathkor {} {P= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } b_{ i } x^{ i}} {und} {Q= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i}} {} komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(P) }
{ = }{ { \left( { \frac{ P }{ a_n } } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt. }{Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von $x$. }{Dass die Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i=0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,} ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei  angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} D.h., dass das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{\sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } X^{ i } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter der Restklassenabbildung auf $0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von $P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass $Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Dies folgt direkt aus (4). }{Dies ist klar. }

}





\inputbeispiel{ }
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {\Q[X]/(X^3+2X^2-5) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und bezeichnen die Restklasse von $X$ mit $x$. Aufgrund von Proposition 21.3 besitzt jedes Element $f$ aus $L$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ax^2 + bx +c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{a,b,c \in \Q}{,} so dass also ein dreidimensionaler $\Q$-Vektorraum vorliegt. Da
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $L$ zu $0$ gemacht wird, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 }
{ =} {-2x^2+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergeben sich die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 }
{ =} {-2x^3+5x }
{ =} {-2(-2x^2+5) +5x }
{ =} {4x^2+5x-10 }
{ } {}
} {}{}{,}


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^5 }
{ =} {-2x^4+5x^2 }
{ =} {-2(4x^2+5x-10) + 5 x^2 }
{ =} {-3x^2 -10x +20 }
{ } {}
} {}{}{,} etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.

Berechnen wir nun das Produkt
\mathdisp {(3x^2-2x+4)(2x^2+x-1)} { . }
Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1) }
{ =} { 6x^4+3x^3-3x^2 -4x^3-2x^2+2x +8x^2+4x-4 }
{ =} { 6x^4 -x^3 +3x^2+6x-4 }
{ =} { 6(4x^2+5x-10) +2x^2-5+3x^2+6x-4 }
{ =} { 29x^2 +36x-69 }
} {}{}{.}


}






\zwischenueberschrift{Endliche Körpererweiterungen}

Wenn $P$ in der vorstehenden Proposition irreduzibel ist, so ist
\mathl{K[X]/(P)}{} ein Körper und damit liegt eine Körpererweiterung
\mathdisp {K \subseteq K[X]/(P) =L} { }
vor. Bei einer $K$-Algebra und insbesondere einer Körpererweiterung hat man durch den Vektorraumbegriff sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn $L$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{} über $K$ ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man die $K$-\definitionsverweis {(Vektor\-raum-)Dimension}{}{} von $L$ den \definitionswort {Grad}{} der Körpererweiterung.

}

Bei
\mathl{L=K[X]/(P)}{} mit einem irreduziblen Polynom $P$ ist nach Satz 21.3(5) der Grad der Körpererweiterung gleich dem Grad von $P$.






\zwischenueberschrift{Minimalpolynom}




\inputdefinition
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\mathl{f \in A}{} ein Element. Dann heißt $f$ \definitionswort {algebraisch}{} über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}

Wenn ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das algebraische Element
\mathl{f \in A}{} annulliert \zusatzklammer {also \mathlk{P(f)=0}{} ist} {} {,} so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.




\inputdefinition
{}
{

Sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei
\mathl{f \in A}{} ein über $K$ \definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.} Dann heißt das normierte Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} welches von minimalem \definitionsverweis {Grad}{}{} mit dieser Eigenschaft ist, das \definitionswort {Minimalpolynom}{} von $f$.

}

Wenn $f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.




\inputbeispiel{}
{

Bei einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die Elemente
\mathl{a \in K}{} trivialerweise \definitionsverweis {algebraisch}{}{,} und zwar ist jeweils
\mathl{X-a \in K[X]}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.} Weitere Beispiele liefern über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die komplexen Zahlen
\mathl{\sqrt{2}, { \mathrm i}, 3^{1/5}}{,} etc. Annullierende Polynome aus
\mathl{\Q[X]}{} sind dafür
\mathl{X^2-2}{,}
\mathl{X^2+1}{,}
\mathl{X^5-3}{} \zusatzklammer {es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist} {} {.} Man beachte, dass beispielsweise
\mathl{X- \sqrt{2}}{} zwar ein annullierendes Polynom für $\sqrt{2}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $\Q$ gehören.


}





\inputfaktbeweis
{Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $A$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{f \in A}{} ein Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $f$ über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Kern}{}{} des \definitionsverweis {kanonischen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {K[X]} {A } {X} {f } {,} das von $P$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus \maabbeledisp {} {K[X]} {A } {X} {f } {.} Dessen Kern ist nach Satz 13.6 und nach Satz 16.11 ein Hauptideal, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen \zusatzklammer {im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig} {} {.} Das Minimalpolynom $P$ gehört zu ${\mathfrak a}$. Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da beide normiert sind.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei $A$ eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und sei
\mathbed {f_i \in A} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_i$ enthält, die von diesen Elementen \stichwort {erzeugte $R$-Algebra} {.} Sie wird mit
\mathl{R[f_i,\, i \in I]}{} bezeichnet.

}

Man kann diese $R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von $A$ charakterisieren, der sowohl $R$ als auch die $f_i$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten $K$-Algebren in einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach
\mathl{K[f]}{,} und diese $K$-Algebra besteht aus allen $K$-Linearkombinationen von Potenzen von $f$. Dies ist das Bild unter dem durch
\mathl{X \mapsto f}{} gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von $L$ betrachten, der sowohl $K$ als auch eine Elementfamilie
\mathbed {f_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} enthält. Dieser wird mit
\mathl{K(f_i, i \in I)}{} bezeichnet, und man sagt, dass die $f_i$ ein \stichwort {Körper-Erzeugendensystem} {} von diesem Körper bilden. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f_i, i \in I] }
{ \subseteq }{ K(f_i, i \in I) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f] }
{ \subseteq }{ K(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}





\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{f \in L}{} ein \definitionsverweis {algebraisches}{}{} Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $f$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische $K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{} \maabbeledisp {} {K[X]/(P)} {K[f] } {X} {f } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Einsetzung
\mathl{X \mapsto f}{} ergibt nach Korollar 14.4 den kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus \maabbeledisp {} {K[X]} {L } {X} {f } {.} Das Bild davon ist genau
\mathl{K[f]}{,} so dass ein surjektiver $K$-Algebrahomomor\-phismus \maabbdisp {} {K[X]} {K[f] } {} vorliegt. Daher gibt es nach Satz 16.3 eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} zwischen
\mathl{K[f]}{} und dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} von
\mathl{K[X]}{} modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach Lemma 21.10 das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.

}






\inputfaktbeweis
{Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{f \in L}{} ein \definitionsverweis {algebraisches}{}{} Element.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $P$ von $f$ über $K$ ist \definitionsverweis {irreduzibel}{}{.} } {Wenn
\mathl{Q \in K[X]}{} ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(f) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungzwei {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{P_1P_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {P(f) }
{ =} {P_1(f) P_2(f) }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1(f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen \mathkor {} {P} {und} {P_1} {} den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_2$ konstant \zusatzklammer {$\neq 0$} {} {,} also eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} sein. } {Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $Q$ aufgrund von Lemma 21.10 ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{GP }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich \mathkor {sowohl} {P} {als auch} {Q} {} normiert sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}



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