Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 21

Algebren

Definition

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R \to A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$ -Algebra.

Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring $R [X]$ eine $R$ -Algebra, indem man die Elemente aus $R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine $ℤ$ -Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus $ℤ ⟶ R$ , $n ⟼ n_{R}$ . Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe $A$ (bei kommutativem Grundring $R$ ) sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus $R$ mit allen Elementen aus $A$ vertauschen.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring $R$ ein Körper $K$ ist. Eine $K$ -Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass $ℚ$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring $L$ , $ℚ \subseteq L \subseteq ℂ$ , gegeben ist. Dann ist $L$ über die Inklusion direkt eine $ℚ$ -Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative $K$ -Algebren über einem kommutativen Grundring $K$ . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

φ : R ⟶ S

einen $K$ -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K \to R$ und $K \to S$ verträglich ist.

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein $ℤ$ -Algebra-Homomorphismus, da es zu jedem Ring $A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus $ℤ \to A$ gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus (siehe Vorlesung 16) jetzt so verstehen, dass der Polynomring $R [X]$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere $R$ -Algebra $A$ mit einem fixierten Element $a \in A$ vorliegt und dass dann durch $X \mapsto a$ ein $R$ -Algebra-Homomorphismus $R [X] \to A$ definiert wird.

Rechnen in $K [X] / (P)$

Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.

Proposition

Es sei $K$ ein Körper und sei $K [X]$ der Polynomring über $K$ . Es sei $P = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \in K [X]$ ein Polynom vom Grad $n$ und $R = K [X] / (P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$ ).

Man kann stets $P$ als normiert annehmen (also $a_{n} = 1$ ; das werden wir im Folgenden tun).

In $R$ ist $x^{n} = - \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} x^{i}$ .

Höhere Potenzen $x^{k}$ , $k \geq n$ , kann man mit den Potenzen $x^{i}$ , $i \leq n - 1$ , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.

Die Potenzen $x^{0} = 1, x^{1}$ $, \dots, x^{n - 1}$ bilden eine $K$ -Basis von $R$ .

$R$ ist ein $K$ -Vektorraum der Dimension $n$ .

In $R$ werden zwei Elemente $P = \sum_{i = 0}^{n - 1} b_{i} x^{i}$ und $Q = \sum_{i = 0}^{n - 1} c_{i} x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

Beweis

Es ist $(P) = (\frac{P}{a_{n}})$ , da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt.
Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung $P = 0$ .
Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von $x$ .
Dass die Potenzen $x^{i}$ , $i = 0, \dots, n - 1$ , ein Erzeugendensystem bilden, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir $\sum_{i = 0}^{n - 1} c_{i} x^{i} = 0$ . D.h., dass das Polynom $Q = \sum_{i = 0}^{n - 1} c_{i} X^{i}$ unter der Restklassenabbildung auf $0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von $P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass $Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle $c_{i} = 0$ .
Dies folgt direkt aus (4).
Dies ist klar.

◻

Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring

L = ℚ [X] / (X^{3} + 2 X^{2} - 5)

und bezeichnen die Restklasse von $X$ mit $x$ . Aufgrund von Proposition 21.3 besitzt jedes Element $f$ aus $L$ eine eindeutige Darstellung $f = a x^{2} + b x + c$ mit $a, b, c \in ℚ$ , sodass also ein dreidimensionaler $ℚ$ -Vektorraum vorliegt. Da $X^{3} + 2 X^{2} - 5$ in $L$ zu $0$ gemacht wird, gilt

x^{3} = - 2 x^{2} + 5 .

Daraus ergeben sich die Gleichungen

x^{4} = - 2 x^{3} + 5 x = - 2 (- 2 x^{2} + 5) + 5 x = 4 x^{2} + 5 x - 10,

x^{5} = - 2 x^{4} + 5 x^{2} = - 2 (4 x^{2} + 5 x - 10) + 5 x^{2} = - 3 x^{2} - 10 x + 20,

etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.

Berechnen wir nun das Produkt

(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 x^{2} + x - 1) .

Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist

\begin{matrix} (3 x^{2} - 2 x + 4) (2 x^{2} + x - 1) & = 6 x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 8 x^{2} + 4 x - 4 \\ = 6 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 4 \\ = 6 (4 x^{2} + 5 x - 10) + 2 x^{2} - 5 + 3 x^{2} + 6 x - 4 \\ = 29 x^{2} + 36 x - 69. \end{matrix}

Endliche Körpererweiterungen

Wenn $P$ in der vorstehenden Proposition irreduzibel ist, so ist $K [X] / (P)$ ein Körper und damit liegt eine Körpererweiterung

K \subseteq K [X] / (P) = L

vor. Bei einer $K$ -Algebra und insbesondere einer Körpererweiterung hat man durch den Vektorraumbegriff sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

Definition

Eine Körpererweiterung $K \subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

Definition

Es sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$ -Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.

Bei $L = K [X] / (P)$ mit einem irreduziblen Polynom $P$ ist nach Satz 21.3(5) der Grad der Körpererweiterung gleich dem Grad von $P$ .

Minimalpolynom

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$ -Algebra. Es sei $f \in A$ ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$ , wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P \in K [X]$ mit $P (f) = 0$ gibt.

Wenn ein Polynom $P \neq 0$ das algebraische Element $f \in A$ annulliert (also $P (f) = 0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$ -Algebra. Es sei $f \in A$ ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom $P \in K [X]$ mit $P (f) = 0$ , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$ .

Wenn $f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Beispiel

Bei einer Körpererweiterung $K \subseteq L$ sind die Elemente $a \in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils $X - a \in K [X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über $K = ℚ$ die komplexen Zahlen $\sqrt{2}, i, 3^{1 / 5}$ , etc. Annullierende Polynome aus $ℚ [X]$ sind dafür $X^{2} - 2$ , $X^{2} + 1$ , $X^{5} - 3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise $X - \sqrt{2}$ zwar ein annullierendes Polynom für $\sqrt{2}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $ℚ$ gehören.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$ -Algebra und $f \in A$ ein Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$ über $K$ .

Dann ist der Kern des kanonischen $K$ -Algebrahomomorphismus

$K [X] ⟶ A, X ⟼ f,$

das von $P$ erzeugte Hauptideal.

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

K [X] ⟶ A, X ⟼ f .

Dessen Kern ist nach Satz 13.6 ein Ideal und nach Satz 16.11 ein Hauptideal, sagen wir $𝔞 = (F)$ , wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom $P$ gehört zu $𝔞$ . Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$ , da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist $P = F$ , da beide normiert sind.

◻

Definition

Es sei $A$ eine $R$ -Algebra und sei $f_{i} \in A$ , $i \in I$ , eine Familie von Elementen aus $A$ . Dann heißt die kleinste $R$ -Unteralgebra von $A$ , die alle $f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte $R$ -Algebra. Sie wird mit $R [f_{i}, i \in I]$ bezeichnet.

Man kann diese $R$ -Algebra auch als den kleinsten Unterring von $A$ charakterisieren, der sowohl $R$ als auch die $f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten $K$ -Algebren in einer Körpererweiterung $K \subseteq L$ sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach $K [f]$ , und diese $K$ -Algebra besteht aus allen $K$ -Linearkombinationen von Potenzen von $f$ . Dies ist das Bild unter dem durch $X \mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von $L$ betrachten, der sowohl $K$ als auch eine Elementfamilie $f_{i}$ , $i \in I$ , enthält. Dieser wird mit $K (f_{i}, i \in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die $f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist $K [f_{i}, i \in I] \subseteq K (f_{i}, i \in I)$ und insbesondere $K [f] \subseteq K (f)$ .

Satz

Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f \in L$ ein algebraisches Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$ .

Dann gibt es eine kanonische $K$ -Algebraisomorphie

$K [X] / (P) ⟶ K [f], X ⟼ f .$

Beweis

Die Einsetzung $X \mapsto f$ ergibt nach Korollar 14.4 den kanonischen $K$ -Algebrahomomorphismus

K [X] ⟶ L, X ⟼ f .

Das Bild davon ist genau $K [f]$ , sodass ein surjektiver $K$ -Algebrahomomorphismus

K [X] ⟶ K [f]

vorliegt. Daher gibt es nach Satz 16.3 eine Isomorphie zwischen $K [f]$ und dem Restklassenring von $K [X]$ modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach Lemma 21.10 das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.

◻

Lemma

Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f \in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $K$ ist irreduzibel.

Wenn $Q \in K [X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit $Q (f) = 0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

Beweis

Es sei $P = P_{1} P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
$0 = P (f) = P_{1} (f) P_{2} (f) .$

Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir $P_{1} (f) = 0$ . Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$ , die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen $P$ und $P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_{2}$ konstant ( $\neq 0$ ), also eine Einheit sein.
Wegen $Q (f) = 0$ ist $Q$ aufgrund von Lemma 21.10 ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$ , sagen wir $Q = G P$ . Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich sowohl $P$ als auch $Q$ normiert sind, ist $P = Q$ .

◻

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