Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 21

Algebren

Definition

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring ${}R[X]$ eine ${}R$-Algebra, indem man die Elemente aus ${}R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine ${}\mathbb {Z}$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \longrightarrow R$, ${}n\longmapsto n_{R}$. Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe ${}A$ (bei kommutativem Grundring ${}R$) sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus ${}R$ mit allen Elementen aus ${}A$ vertauschen.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring ${}R$ ein Körper ${}K$ ist. Eine ${}K$-Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass ${}\mathbb {Q}$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$, gegeben ist. Dann ist ${}L$ über die Inklusion direkt eine ${}\mathbb {Q}$-Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein ${}\mathbb {Z}$-Algebra-Homomorphismus, da es zu jedem Ring ${}A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow A$ gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus (siehe Vorlesung 16) jetzt so verstehen, dass der Polynomring ${}R[X]$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere ${}R$-Algebra ${}A$ mit einem fixierten Element ${}a\in A$ vorliegt und dass dann durch ${}X\mapsto a$ ein ${}R$-Algebra-Homomorphismus ${}R[X]\rightarrow A$ definiert wird.

Rechnen in ${}K[X]/(P)$

Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von ${}X$ in ${}R$ mit ${}x$).

1. Man kann stets ${}P$ als normiert annehmen (also $a_{n}=1$; das werden wir im Folgenden tun).
2. In ${}R$ ist ${}x^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$.
3. Höhere Potenzen ${}x^{k}$, ${}k\geq n$, kann man mit den Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
4. Die Potenzen ${}x^{0}=1,\,x^{1}$ ${},\ldots ,x^{n-1}$ bilden eine ${}K$-Basis von ${}R$.
5. ${}R$ ist ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$.
6. In ${}R$ werden zwei Elemente ${}P=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

Beweis

1. Es ist ${}(P)={\left({\frac {P}{a_{n}}}\right)}$, da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt.
2. Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung ${}P=0$.
3. Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von ${}x$.
4. Dass die Potenzen ${}x^{i}$, ${}i=0,\ldots ,n-1$, ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei  angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir ${}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}=0$. D.h., dass das Polynom ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}X^{i}$ unter der Restklassenabbildung auf ${}0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von ${}P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass ${}Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle ${}c_{i}=0$.
5. Dies folgt direkt aus (4).
6. Dies ist klar.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring

${}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+2X^{2}-5)\,$

und bezeichnen die Restklasse von ${}X$ mit ${}x$. Aufgrund von Proposition 21.3 besitzt jedes Element ${}f$ aus ${}L$ eine eindeutige Darstellung ${}f=ax^{2}+bx+c$ mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$, sodass also ein dreidimensionaler ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum vorliegt. Da ${}X^{3}+2X^{2}-5$ in ${}L$ zu ${}0$ gemacht wird, gilt

${}x^{3}=-2x^{2}+5\,.$

Daraus ergeben sich die Gleichungen

${}x^{4}=-2x^{3}+5x=-2(-2x^{2}+5)+5x=4x^{2}+5x-10\,,$

${}x^{5}=-2x^{4}+5x^{2}=-2(4x^{2}+5x-10)+5x^{2}=-3x^{2}-10x+20\,,$

etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.

Berechnen wir nun das Produkt

$(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1).$

Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist

${}{\begin{aligned}(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1)&=6x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-4x^{3}-2x^{2}+2x+8x^{2}+4x-4\\&=6x^{4}-x^{3}+3x^{2}+6x-4\\&=6(4x^{2}+5x-10)+2x^{2}-5+3x^{2}+6x-4\\&=29x^{2}+36x-69.\end{aligned}}$

Endliche Körpererweiterungen

Wenn ${}P$ in der vorstehenden Proposition irreduzibel ist, so ist ${}K[X]/(P)$ ein Körper und damit liegt eine Körpererweiterung

$K\subseteq K[X]/(P)=L$

vor. Bei einer ${}K$-Algebra und insbesondere einer Körpererweiterung hat man durch den Vektorraumbegriff sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Bei ${}L=K[X]/(P)$ mit einem irreduziblen Polynom ${}P$ ist nach Satz 21.3(5) der Grad der Körpererweiterung gleich dem Grad von ${}P$.

Minimalpolynom

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Wenn ein Polynom ${}P\neq 0$ das algebraische Element ${}f\in A$ annulliert (also $P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Wenn ${}f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Beispiel

Bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sind die Elemente ${}a\in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils ${}X-a\in K[X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über ${}K=\mathbb {Q}$ die komplexen Zahlen ${}{\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ sind dafür ${}X^{2}-2$, ${}X^{2}+1$, ${}X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise ${}X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${}{\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehören.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und ${}f\in A$ ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$

Dessen Kern ist nach Satz 13.6 und nach Satz 16.11 ein Hauptideal, sagen wir ${}{\mathfrak {a}}=(F)$, wobei wir ${}F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom ${}P$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von ${}F$ größer oder gleich dem Grad von ${}P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist ${}P=F$, da beide normiert sind.

$\Box$

Definition

Es sei ${}A$ eine ${}R$-Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra. Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Man kann diese ${}R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von ${}A$ charakterisieren, der sowohl ${}R$ als auch die ${}f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten ${}K$-Algebren in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach ${}K[f]$, und diese ${}K$-Algebra besteht aus allen ${}K$-Linearkombinationen von Potenzen von ${}f$. Dies ist das Bild unter dem durch ${}X\mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von ${}L$ betrachten, der sowohl ${}K$ als auch eine Elementfamilie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, enthält. Dieser wird mit ${}K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die ${}f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist ${}K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)$ und insbesondere ${}K[f]\subseteq K(f)$.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$.

Dann gibt es eine kanonische ${}K$- Algebraisomorphie

$K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$

Beweis

Die Einsetzung ${}X\mapsto f$ ergibt nach Korollar 14.4 den kanonischen ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow L,\,X\longmapsto f.$

Das Bild davon ist genau ${}K[f]$, sodass ein surjektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K[f]$

vorliegt. Daher gibt es nach Satz 16.3 eine Isomorphie zwischen ${}K[f]$ und dem Restklassenring von ${}K[X]$ modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach Lemma 21.10 das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

Beweis

1. Es sei ${}P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${}L$ die Beziehung

   ${}0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$

   Da ${}L$ ein Körper ist, muss ein Faktor ${}0$ sein, sagen wir ${}P_{1}(f)=0$. Da aber ${}P$ unter allen Polynomen ${}\neq 0$, die ${}f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen ${}P$ und ${}P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${}P_{2}$ konstant (${}\neq 0$), also eine Einheit sein.

2. Wegen ${}Q(f)=0$ ist ${}Q$ aufgrund von Lemma 21.10 ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${}P$, sagen wir ${}Q=GP$. Da ${}Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da ${}P$ zumindest den Grad ${}1$ besitzt, muss ${}G$ konstant sein. Da schließlich sowohl ${}P$ als auch ${}Q$ normiert sind, ist ${}P=Q$.

$\Box$

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