Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 21

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige, dass dann der Quotientenkörper von ist.


Aufgabe

Berechne im Körper das Produkt


Aufgabe

Bestimme das Inverse von

im Körper .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in das Inverse von .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Körpererweiterung und ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie

von Körpern vorliegt.


Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass kein Quadrat in ist und folgere, dass
    ein Körper ist.
  2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

    und berechne

  3. Finde das Inverse zu in .
  4. Zeige, dass kein Quadrat in ist, dafür aber in .


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass ein Unterkörper von ist, der über den Grad vier besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

im Körper .


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

über .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein endlicher Körper mit Elementen. Zeige, dass es in genau primitive Elemente gibt, wobei die Eulersche Funktion bezeichnet.



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