Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei $A$,  $K\subseteq A\subseteq L$,  ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein Element. Zeige, dass dann $K(f)$ der Quotientenkörper von $K[f]$ ist.

Aufgabe

Berechne im Körper $\mathbb{Q}[\sqrt{7}]$ das Produkt

$(-2+\sqrt{7})\cdot (4-\sqrt{7}).$

Aufgabe

Bestimme das Inverse von

$1+\sqrt{2}+3\sqrt{10}$

im Körper $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{5}]$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in $\mathbb{Q}[\sqrt{11}]$ das Inverse von $3+5\sqrt{11}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und  $f\in L$  ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie

$K(X)⟶K(f)$

von Körpern vorliegt.

Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper  $\mathbb{Z}/(13)=\{0,1,2,\mathrm{...},12\}$  mit $13$ Elementen.

1. Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(13)$ ist und folgere, dass

   $\mathbb{Z}/(13)[X]/(X^2-5)=:\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$

   ein Körper ist.

2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   $\mathbb{Z}/(13)\subset \mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$

   und berechne

   $(2+3\sqrt{5})(1+11\sqrt{5})(10+7\sqrt{5})$

3. Finde das Inverse zu $7+3\sqrt{5}$ in $\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$.
4. Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(13)$ ist, dafür aber in $\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass $\mathbb{Q}[\sqrt{p},\sqrt{q}]$ ein Unterkörper von $ℝ$ ist, der über $\mathbb{Q}$ den Grad vier besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

$2+3\sqrt{5}+\sqrt{7}+3\sqrt{35}$

im Körper $\mathbb{Q}[\sqrt{5},\sqrt{7}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in $(\mathbb{Q}[\sqrt{3}])[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}$ und $T=\sqrt{3}{X}^2-X+2+7\sqrt{3}$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

$\sqrt{3}+\sqrt{5}$

über $\mathbb{Q}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q=p^n$ Elementen. Zeige, dass es in $K$ genau $\phi (q-1)$ primitive Elemente gibt, wobei $\phi$ die Eulersche Funktion bezeichnet.