Kurs:Einführung in die mathematische Logik/10/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	3	3	6	4	3	1	2	4	3	3	0	0	4	0	5	4	54

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie (eine der drei Möglichkeiten)

Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

{\left(r\rightarrow {\left(p\wedge \neg q\right)}\right)}\rightarrow {\left(\neg p\rightarrow {\left(\neg r\vee q\right)}\right)}

allgemeingültig ist

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}\alpha$ und ${}\beta$ Aussagen.

Zeige
$\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \neg {\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}.$
Zeige
$\vdash \neg {\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ eine Menge an Aussagenvariablen und ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Zeige, dass für jedes ${}\alpha \in L^{V}$ entweder ${}\alpha \in \Gamma$ oder ${}\neg \alpha \in \Gamma$ gilt.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}M\subseteq {\mathfrak {P}}\,(G)$ eine Teilmenge der Potenzmenge, die unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.

Zeige, dass ${}(M,\subseteq )$ induktiv geordnet ist.
Zeige, dass ${}M$ ein größtes Element besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der prädikatenlogische Ausdruck

\exists x\exists y(\neg (x=y)\wedge \forall z((z=x)\vee (z=y)))

erfüllbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition die Abziehregel erfüllt, also die Aussage, dass aus einer Gleichung ${}n+k=m+k$ die Gleichheit ${}n=m$ folgt (dabei dürfen grundlegendere Regeln wie die Assoziativität der Addition und ähnliches verwendet werden).

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

In einem Zugabteil sitzen die sechs Personen ${}A,B,C,D,E,F$ . Wir betrachten die folgenden Relationen:

${}Mx$ bedeutet, dass ${}x$ über die deutsche Bahn motzt.
${}Px$ bedeutet, dass ${}x$ einen Fensterplatz hat.
${}Sxy$ bedeutet, dass ${}x$ der Person ${}y$ die Fahrkarte klaut.

Es gelten ausschließlich die Beziehungen

MA,MB,MC,MD,ME,MF,PA,PD,SAD,SBE,SFB.

Charakterisiere umgangssprachlich die Person ${}A$ allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Relationen.
Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen ${}x$ und den Relationssymbolen ${}M,P,S$ die Person ${}B$ .
Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen ${}x$ und den Relationssymbolen ${}M,P,S$ die Person ${}E$ .

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die erststufige Peano-Arithmetik ${}PA$ eine vollständige widerspruchsfreie erststufige Erweiterung ${}M$ , also ${}PA\subseteq M\subseteq L_{0}^{\rm {Ar}}$ , besitzt, die von ${}\mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ verschieden ist.