Kurs:Einführung in die mathematische Logik/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 3 3 4 3 1 2 4 3 3 0 0 4 0 0 0 5 4 46



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Ableitbarkeit eines -Ausdrucks aus einer Menge an -Ausdrücken.
  2. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  3. Die endliche Axiomatisierbarkeit einer Theorie .
  4. Ein reell-abgeschlossener Körper.
  5. Die Eigenschaft einer Menge von arithmetischen Ausdrücken, Repräsentierungen zu erlauben.
  6. Das modallogische Symmetrieaxiom.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie

  1. Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
  2. Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
  3. Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Menge an Aussagenvariablen und eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Zeige, dass für jedes entweder oder gilt.


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei eine Menge und eine Teilmenge der Potenzmenge, die unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.

  1. Zeige, dass induktiv geordnet ist.
  2. Zeige, dass ein größtes Element besitzt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der prädikatenlogische Ausdruck

erfüllbar ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition die Abziehregel erfüllt, also die Aussage, dass aus einer Gleichung die Gleichheit folgt (dabei dürfen grundlegendere Regeln wie die Assoziativität der Addition und ähnliches verwendet werden).


Aufgabe (3 Punkte)

In einem Zugabteil sitzen die sechs Personen . Wir betrachten die folgenden Relationen:

  1. bedeutet, dass über die deutsche Bahn motzt.
  2. bedeutet, dass einen Fensterplatz hat.
  3. bedeutet, dass der Person die Fahrkarte klaut.

Es gelten ausschließlich die Beziehungen

  1. Charakterisiere umgangssprachlich die Person allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Relationen.
  2. Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen und den Relationssymbolen die Person .
  3. Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen und den Relationssymbolen die Person .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die erststufige Peano-Arithmetik eine vollständige widerspruchsfreie erststufige Erweiterung , also , besitzt, die von verschieden ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen das modallogische Symmetrieaxiom genau dann gilt, wenn symmetrisch ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei die durch das Löb-Axiom gegebene -Modallogik, also die Beweisbarkeitslogik. Wir setzen

(als Abkürzung für einen Widerspruch). Zeige, dass

ableitbar ist.