Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Entwerfe einen Termstammbamm für den Term

wie in Beispiel 6.3.


Aufgabe

Wir betrachten die arithmetische Grundtermmenge, die aus den Konstanten und , den Variablen , , dem einstelligen Funktionssymbol und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen und besteht. Entscheide, ob die folgenden Wörter über diesem Termalphabet Terme sind oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Schreibe diejenigen Wörter, die Terme sind, mit Klammern, , und .


Aufgabe

Erläutere den Unterschied zwischen und in Definition 6.2.


Aufgabe

Es sei eine Grundtermmenge und ein -Term. Es sei das am weitesten links stehende Symbol von und das am weitesten rechts stehende Symbol von . Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Wenn eine Variable oder eine Konstante ist, so ist .
  2. ist eine Variable oder eine Konstante.
  3. Wenn und Terme sind, so ist kein Term.


Aufgabe

Es sei eine Grundtermmenge und ein -Term. Es sei die Gesamtzahl der Variablen und Konstanten in , wobei mehrfaches Vorkommen auch mehrfach gezählt wird. Es sei die Summe über alle Stelligkeiten der in vorkommenden Funktionssymbole, wobei wiederum mehrfach auftretende Symbole auch mehrfach gezählt werden.

  1. Bestimme und im Term
    wobei einstellig, zweistellig und dreistellig sei.
  2. Es sei weder eine Variable noch eine Konstante. Zeige .
  3. Zeige, dass die Differenz beliebig groß sein kann.


Aufgabe

Für Punkte in der Ebene bedeute die Rechtwinkligkeit des durch gegebenen Dreiecks an der Ecke und die pythagoreische Längenbeziehung. Betrachte die beiden formalen Aussagen

und

Welche ist (sind) eine Formalisierung des Satzes von Pythagoras, welche ist (sind) wahr?


Aufgabe

Es sei die Termmenge zur Konstantenmenge , zur Variablenmenge , und zur zweistelligen Funktionssymbolmenge . Definiere eine natürliche Abbildung von in den Polynomring . Ist diese Abbildung injektiv? Ist sie surjektiv? Was ist das Bild?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Eine Grundtermmenge sei durch die Variablenmenge , eine Konstantenmenge , die einstelligen Funktionssymbole und die zweistelligen Funktionssymbole gegeben. Entwerfe einen Termstammbaum für den Term


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es kein gleichseitiges Dreieck im gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

Tipp: Verwende, dass irrational ist und den Satz des Pythagoras.


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