Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Auswahlaxioms, dass es zu jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen gibt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und die Menge der echten Teilmengen von , also

Diese Menge ist durch die Inklusion eine geordnete Menge. Bestimme die minimalen und die maximalen Elemente von .


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es seien und zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung

heißt ordnungstreu (oder monoton), wenn für alle mit stets auch gilt.

Aufgabe

Es sei eine geordnete Menge und die Potenzmenge von . Zeige, dass die Abbildung

ordnungstreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und ein topologischer Filter auf mit . Zeige, dass es einen Ultrafilter gibt.


Wenn man die natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie versieht, so dass also jede Teilmenge offen ist, so ist ein topologischer Filter auf einfach eine Teilmenge mit

  1. .
  2. Mit und ist auch .
  3. Mit und ist auch .

Aufgabe

Ein Filter ist genau dann ein Ultrafilter, wenn für jede Teilmenge entweder oder gilt


Die einfachen Ultrafilter in werden in folgender Aufgabe beschrieben.

Aufgabe

Es sei eine fixierte Zahl. Dann ist

ein Ultrafilter.


Aufgabe

Zeige, dass es in Ultrafilter gibt, die keine endlichen Teilmengen enthalten.


Aufgabe

Wir betrachten den Folgenring . Zu einer Folge sei

Zeige, dass über die Zuordnungen

und

sich die Ideale aus und die Filter aus entsprechen.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

Ist ein Filter?


Aufgabe

Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der Satz von Hamel keineswegs selbstverständlich ist.

  1. Die reellen Zahlen als -Vektorraum betrachtet.
  2. Die Menge der reellen Folgen
  3. Die Menge aller stetigen Funktionen von nach .


Aufgabe

Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.


Aufgabe

Beweise durch Induktion, dass die natürliche Ordnung auf den natürlichen Zahlen eine Wohlordnung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die natürliche Ordnung auf den ganzen Zahlen keine Wohlordnung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die natürliche Ordnung auf den reellen Zahlen keine Wohlordnung ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise das Lemma von Zorn für eine total geordnete Menge.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass ein Filter auf ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass sich bei der in Aufgabe 5.9 beschriebenen Korrespondenz maximale Ideale und Ultrafilter entsprechen.


Aufgabe (3 Punkte)

Definiere eine Wohlordnung auf der Menge der ganzen Zahlen .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine total geordnete Menge, die sowohl nach unten als auch nach oben wohlgeordnet ist. Zeige, dass endlich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik: Wenn die Aussage aus der Aussagenmenge folgt, dann gibt es eine endliche Teilmenge , aus der diese Aussage folgt.


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