Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 24/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete (einschließlich Klammerung) modallogische Ausdrücke sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe Aufgabe 24.2 ändern

Zeige, dass das -Axiom äquivalent zu

ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere die in Bemerkung 23.7 aufgeführten Eigenschaften für das Ableitungsprädikat in der Sprache der Modallogik.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass im -System der Ausdruck

ableitbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine formale Modallogik, die durch das Axiomenschema

gegeben sei.

  1. Erfüllt diese Modallogik das Axiomenschema K?
  2. Erfüllt diese Modallogik die Nezessisierungsregel?
  3. Erfüllt diese Modallogik das Ideologieaxiom?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei , eine Familie von Aussagenvariablen und sei die zugehörige modallogische Sprache. Es sei ein prädikatenlogisches Symbolalphabet, das unter anderem Konstanten , , und eine fixierte Variable enthalte.

  1. Definiere eine natürliche injektive Abbildung

    bei der auf und auf abgebildet wird.

  2. Was ist ?
  3. Zeige, dass zu jeder in der -Modallogik ableitbaren modallogischen Aussage auch im Prädikatenkalkül ableitbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

  1. Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

    gilt.

  2. Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

    nicht gelten muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

  1. Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

    gilt.

  2. Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

    nicht gelten muss.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 11.21.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

nicht gelten muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir setzen

und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei

wobei als die -fache Addition von mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete (einschließlich Klammerung) modallogische Ausdrücke sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einer -Modallogik

ableitbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die -Modallogik widerspruchsfrei ist.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat.

  1. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.

  2. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.



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