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Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 4 2 7 3 2 4 4 3 5 4 6 1 3 7 63








Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?



Bestimme die Einheiten im Ring , wobei ein Körper ist.



Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.



Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. teilt .
  2. Es ist .
  3. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus



(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen



Berechne in .



Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.



Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :



Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.



Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .



a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .



Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .



Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.



Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.



Aus einer Menge seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge der Punkte, die aus der Anfangsmenge auf diese Weise konstruierbar ist.