Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 7 | 3 | 2 | 4 | 4 | 3 | 5 | 4 | 6 | 1 | 3 | 7 | 63 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
- ist negativ.
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- ist kein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.
Was ist ?
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- teilt .
- Es ist .
- Es gibt einen Ringhomomorphismus
- Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)Referenznummer erstellen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne in .
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
in liegen.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Aus einer Menge seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge der Punkte, die aus der Anfangsmenge auf diese Weise konstruierbar ist.