Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	4	4	2	4	2	7	3	2	4	4	3	5	4	6	1	3	7	65

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ${}n$ ist negativ.
2. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}8$, aber nicht von ${}-16$.
3. ${}n$ ist kein Vielfaches von ${}36$.
4. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}150$, aber nicht von ${}125$.
5. In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${}5$ ist.

Was ist ${}n$?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Einheiten im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}k$ und ${}n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}k$ teilt ${}n$.
2. Es ist ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$.
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)Referenznummer erstellen

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}11$ und ${}13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$:

${}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$

in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Aus einer Menge ${}T\subseteq E$ seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge ${}M$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge ${}\{0,1\}$ auf diese Weise konstruierbar ist.