Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 7 | 3 | 2 | 4 | 4 | 3 | 5 | 4 | 6 | 1 | 3 | 7 | 63 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
- Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
- Die Charakteristik eines Körpers .
- Eine algebraische Zahl .
- Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
- Ein konstruierbares -Eck ().
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
- Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
- Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
- ist negativ.
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- ist kein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.
Was ist ?
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- teilt .
- Es ist .
- Es gibt einen Ringhomomorphismus
- Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne in .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
in liegen.
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
a) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .
Aufgabe * (1 Punkt)
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Aufgabe * (3 Punkte)
Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.
Aufgabe * (7 Punkte)
Aus einer Menge seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge der Punkte, die aus der Anfangsmenge auf diese Weise konstruierbar ist.