Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{q,d,s \in \N}{} mit
\mathl{d \geq 1}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{qd+s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der Rest von $n$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $s$ bei Division durch $d$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und es seien \mathkor {} {r} {bzw.} {s} {} die Reste von $a$ bzw. $b$ bei Division durch $d$. Zeige, dass der Rest von
\mathl{a+b}{} bei Division durch $d$ gleich dem Rest von
\mathl{r+s}{} bei Division durch $d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {a,d \in \N} {}
{d \geq 1} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$ \zusatzklammer {also \mathlk{a^0,a^1,a^2, \ldots}{}} {} {} schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ < }{ j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass sich die Reste von
\mathl{a^i,a^{i+1},a^{i+2} , \ldots ,a^{j-2}, a^{j-1}}{} bei den folgenden Potenzen periodisch \zusatzklammer {oder \anfuehrung{zyklisch}{}} {} {} wiederholen \zusatzklammer {insbesondere besitzen also
\mathl{a^i}{} und $a^j$ den gleichen Rest} {} {.} Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} anfangen muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(2-i)X^5+(3+i)X^3+(3-i)X-2i} {und} {T=iX^2+5X+6-2i} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} \definitionsverweis {Polynome}{}{.} Zeige, dass es für die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} unerheblich ist, ob man sie in
\mathl{K[X]}{} oder in
\mathl{L[X]}{} durchführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.

}
{Primfaktorzerlegung haben wir noch nicht begrifflich eingeführt. Gemeint ist eine faktorielle Zerlegung, die man nicht weiter aufspalten kann.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} von $P$. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{} $\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} mit euklidischer Funktion $\delta$. Zeige, dass ein Element
\mathl{f \in R}{} (
\mathl{f \neq 0}{}) mit
\mathl{\delta(f)=0}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=5X^4+3X^3+5X^2+3X+6} {und} {T=3X^2+6X+4} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^4-1} { }
und gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad \mathkor {} {1} {oder} {2} {} schreiben kann.

}
{} {Tipp: Man führe Induktion über den Grad und verwende den Fundamentalsatz der Algebra, Aufgabe 5.12 und Aufgabe 5.9}