Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien mit und . Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist.


Aufgabe

Sei eine positive natürliche Zahl. Es seien natürliche Zahlen und es seien bzw. die Reste von bzw. bei Division durch . Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.


Aufgabe

Es seien , . Zeige, dass bei Division mit Rest durch aller Potenzen von (also ) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also derart, dass sich die Reste von bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also und den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei anfangen muss.


Aufgabe *

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und seien Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest durch “ unerheblich ist, ob man sie in oder in durchführt.


Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe *

Bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.

Primfaktorzerlegung haben wir noch nicht begrifflich eingeführt. Gemeint ist eine faktorielle Zerlegung, die man nicht weiter aufspalten kann.

Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.


Aufgabe

Sei ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion . Zeige, dass ein Element () mit eine Einheit ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.

Tipp: Man führe Induktion über den Grad und verwende den Fundamentalsatz der Algebra, Aufgabe 5.12 und Aufgabe 5.9


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