Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 5

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Es bestehen viele und weitreichende Parallelen zwischen dem Ring der ganzen Zahlen und einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper. Grundlegend ist, dass man in beiden Situation eine Division mit Rest durchführen kann.



Division mit Rest in

Zu einer ganzen Zahl ist die Menge

aller Vielfachen von eine Untergruppe von . Wir wollen zeigen, dass jede Untergruppe der ganzen Zahlen diese Gestalt besitzt, also von einem Element erzeugt wird.



Satz  

Sei eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit

Beweis  


In der Notation des vorstehenden Satzes soll an Quotient und an Rest erinnern. Die Division mit Rest kann man auch so verstehen, dass man jede rationale Zahl als

schreiben kann, wobei die größte ganze Zahl bedeutet und der rationale Rest die Bedingungen erfüllt. In dieser Form kann man auch eine Division mit Rest für jede reelle Zahl aus den Axiomen der reellen Zahlen beweisen.



Satz  

Die Untergruppen von sind genau

die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl .

Beweis  

Eine Teilmenge der Form ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Sei umgekehrt eine Untergruppe. Bei kann man nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass neben noch mindestens ein weiteres Element enthält. Wenn negativ ist, so muss die Untergruppe auch das Negative davon, also enthalten, welches positiv ist. D.h. enthält auch positive Zahlen. Sei nun die kleinste positive Zahl aus . Wir behaupten . Dabei ist die Inklusion klar, da mit alle (positiven und negativen) Vielfachen von dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

Wegen und ist auch . Nach der Wahl von muss wegen gelten: Dies bedeutet und damit , also .




Division mit Rest in



Satz  

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien Polynome mit .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit

Beweis  


Die Berechnung der Polynome und heißt Polynomdivision. Wir geben dazu ein Beispiel über den komplexen Zahlen.


Beispiel  

Wir führen die Polynomdivision

durch. Es wird also ein Polynom vom Grad durch ein Polynom vom Grad dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest (maximal) vom Grad sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man multiplizieren muss, damit das Produkt mit im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar . Das Produkt ist

Die Differenz von zu diesem Produkt ist

Mit diesem Polynom, nennen wir es , setzen wir die Division durch fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man mit multiplizieren. Dies ergibt

Die Differenz zu ist somit

Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt




Lemma  

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und .

Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.

Beweis  

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.




Korollar  

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom () vom Grad .

Dann besitzt maximal Nullstellen.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 5.5 und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .



Korollar

Sei ein Körper und sei der Polynomring über .

Dann besitzt jedes eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom .

Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt.

Beweis

Siehe Aufgabe 5.8.

Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist. Das werden wir später behandeln.




Der Fundamentalsatz der Algebra

Es gilt der folgende Fundamentalsatz der Algebra, den wir hier ohne Beweis erwähnen.


Satz

Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von verschiedene Polynom in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann schreiben

mit eindeutig bestimmten komplexen Zahlen (wobei Wiederholungen erlaubt sind).



Euklidische Bereiche

Ringe, in denen man eine Division mit Rest sinnvoll durchführen kann, bekommen einen eigenen Namen.


Definition  

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich , für den eine Abbildung existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente mit gibt es mit

Die in der Definition auftauchende Abbildung nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.


Beispiel  

Für einen Körper ist der Polynomring in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring und beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft



Beispiel  

Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene

Eine Gaußsche Zahl ist durch gegeben, wobei und ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm gegeben, die durch definiert ist. Man kann auch schreiben, wobei die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also .

Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von bestimmen: ist , so ist auch, also . Damit sind genau die Elemente diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.



Lemma  

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich.

Beweis  


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