Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall

Es seien nun

$U\subseteq V$ ein Untervektorraum eines $\mathbb {C}$ -Vektorraumes $V$ ;
$p\colon V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Halbnorm;
$f\colon U\to \mathbb {C}$ ein lineares Funktional, für das $|f(u)|\leq p(u)$ für alle $u\in U$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {C}$ , so dass

$F|_{U}=f$ und.
$|F(v)|\leq p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Bemerkung

Der folgenden Beweis geht auf Bohnenblust und Sobczyk^[1] aus dem Jahr 1938 zurück. Bohnenblust und Sobczyk haben den reellen Fall von Hahn-Banach auf Banachräume über dem Körper $\mathbb {C}$ erweitert.

Beweis

Der Beweis nutzt den Satz von Hahn-Banach in $\mathbb {R}$ . Daher gliedert sich der Beweis in vier Teile:

Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion einer linearen Abbildung,
Die Erweiterung der linearen Realteilfunktion $g:U\to \mathbb {R}$ mit dem reellen Hahn-Banach zu $G:V\to \mathbb {R}$ und Definition der komplexen Erweiterung $F:V\to \mathbb {C}$
$\mathbb {C}$ -Linerarität von $F$ aus $\mathbb {R}$ -Linerarität von $G$ folgern.
Nachweis der Eigenschaften $F|_{U}=f$ und $\vert F(v)\vert \leq p(v)$ für alle $v\in V$ .

Beweisteil 1: Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion

Sei ${\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C}$ ein $\mathbb {C}$ -lineares Funktional auf einem beliebigen Untervektorraum ${\widehat {U}}\subseteq V$ . Nun definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktionen als reellwertige Abbildung wie folgt.

${\hat {g}}:{\widehat {U}}\to \mathbb {R}$ mit ${\hat {g}}(u):={\mathfrak {Re}}({\widehat {f}}(u))$ und
${\hat {h}}:{\widehat {U}}\to \mathbb {R}$ mit ${\hat {h}}(u):={\mathfrak {Im}}({\widehat {f}}(u))$ .

Wir zeigen nun für ${\widehat {f}}={\hat {g}}+i{\hat {h}}$ in Beweisteil 1, dass die so definierten Abbildungen ${\hat {g}},{\hat {h}}$ auch $\mathbb {R}$ -lineare Abbildungen sind.

Bemerkung 1: Anwendung auf lineare Funktionale

Der im Folgende behandelte Zusammenhang zwischen Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion von einem linearen Funktional ${\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C}$ wird später sowohl für eine gegebene Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ auf ${\widehat {U}}:=U$ als auch für die Erweiterung $F\colon V\to \mathbb {C}$ auf ganz $V$ mit ${\widehat {U}}:=V$ verwendet.

Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität

Seien nun $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ und $u_{1},u_{2}\in {\widehat {U}}$ . Dann liefert die $\mathbb {C}$ -Linearität von ${\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C}$

{\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})&+&i\cdot {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})={\widehat {f}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})\\&=&\lambda _{1}{\widehat {f}}(u_{1})+\lambda _{2}{\widehat {f}}(u_{2})\\&=&\lambda _{1}\left({\hat {g}}(u_{1})+i\cdot {\hat {h}}(u_{1})\right)+\lambda _{2}\left({\hat {g}}(u_{2})+i\cdot {\hat {h}}(u_{2})\right)\\&=&\left(\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})\right)+i\cdot \left(\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})\right)\\\end{array}}

Beweisschritt 1.2: Realteil- und Imaginärteilvergleich

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus

{\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})&+&i\cdot {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\\&=&\left(\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})\right)+i\cdot \left(\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})\right)\end{array}}

Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.

${\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})$ und
${\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})$ .

Damit sind die Funktionen ${\hat {g}}$ und ${\hat {h}}$ auch $\mathbb {R}$ -linear.

Beweisschritt 1.3: Zusammenhang Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Funktionen ${\hat {g}}$ und ${\hat {h}}$ können aber nicht unabhängig $\mathbb {R}$ -linear definiert werden. Sie sind abhängig. Dies zeigt:

{\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(i\cdot u)+i\cdot {\hat {h}}(i\cdot u)&=&{\widehat {f}}(i\cdot u)=i\cdot {\widehat {f}}(u)\\&=&i\cdot \left({\hat {g}}(u)+i\cdot {\hat {h}}(u)\right)\\&=&i\cdot {\hat {g}}(u)-{\hat {h}}(u)\\\end{array}}

Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen ${\hat {g}}(i\cdot u)=-{\hat {h}}(u)$ und ${\hat {h}}(i\cdot u)={\hat {g}}(u)$ .

Beweisschritt 1.4: Darstellung der linearen Abbildung

Durch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit $1=-i^{2}$ folgende Gleichungskette:

{\hat {h}}(u)={\hat {h}}\left(-i^{2}u\right)=-{\hat {h}}\left(i^{2}u\right)=-{\hat {g}}\left(iu\right)

Damit kann man ${\hat {h}}(u)$ durch $-{\hat {g}}\left(iu\right)$ ersetzen und erhält:

{\widehat {f}}(u)={\hat {g}}\left(u\right)-i\cdot {\hat {g}}\left(i\cdot u\right){\mbox{ für alle }}u\in {\widehat {U}}

Beweisteil 2: Erweiterung der reell-linearen Funktion g

Durch den ersten Beweisteil wurde gezeigt, dass ein komplexwertiges lineares Funktionals $f:U\to \mathbb {C}$ bereits durch die $\mathbb {R}$ -lineare Realteilfunktion $g:U\to \mathbb {C}$ eindeutig bestimmt ist und die Imaginärteilfunktion $h:U\to \mathbb {C}$ über $h(u)=-g(i\cdot u)$ eindeutig durch $g$ definiert ist. Auf $g$ wird nun der reelle Hahn-Banach angewendet.

Beweisschritt 2.1: Halbnormbeschränkung

Zunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle $u\in U$ gilt:

g(u)\leq |g(u)|={\sqrt {(g(u))^{2}}}\leq {\sqrt {(g(u))^{2}+(h(u))^{2}}}=|f(u)|

Beweisschritt 2.2: Halbnormbeschränkung für Betrag

Da nach Voraussetzung mit $|f(u)|\leq p(u)$ für alle $u\in U$ gilt mit dem Beweisschritt 2.1 die Abschätzung:

g(u)\leq |g(u)|\leq |f(u)|\leq p(u)

Beweisschritt 2.3: Reellwertiger Grundvektorraum

Mit $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ kann man den Grundraum $V$ und den Untervektorraum $U$ auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das $\mathbb {R}$ -lineare Funktional $g:U\to \mathbb {R}$ definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional $G\colon V\to \mathbb {R}$ , so dass

$G|_{U}=g$ und.
$G(v)\leq p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Beweisschritt 2.3: Definition von F über G

Man definiert nun die Abbildung $F\colon V\to \mathbb {C}$ wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:

F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x){\mbox{ für alle }}x\in V

wobei $F$ ebenso wie $G$ auch $\mathbb {R}$ -linear ist.

Beweisteil 3: Linearität von F

In Beweisteil 1 wurde gezeigt, dass jedes $\mathbb {C}$ -lineare Funktional ${\widehat {f}}:{\widehat {U}}\to \mathbb {C}$ bereits durch ein $\mathbb {R}$ -lineare Funktional ${\widehat {g}}:{\widehat {U}}\to \mathbb {C}$ definiert ist. Zu zeigen ist noch, dass die über

F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x){\mbox{ für alle }}x\in V

auch $\mathbb {C}$ -linear ist.

Bemerkung 3.0: Ersetzung der 1

In den folgenden Gleichungsketten wird eine grundlegende Umformung in den komplexen Zahlen verwendet, die in Gleichungsketten dabei hilft, ein fehlendes $i$ in einem Term zu ergänzen. Diese Ergänzung erfolgt durch eine Ersetzung der 1:

1=-i^{2}=-i\cdot i

Beweisschritt 3.1: Additivität von F

Für $x_{1},x_{2}\in V$ gilt $G(x_{2})=-i\cdot iG(x_{2})$ :

{\begin{array}{rcl}F(x_{1}+x_{2})&=&G(x_{1}+x_{2})-i\cdot G\left(i\cdot (x_{1}+x_{2})\right)\\&=&G(x_{1})+G(x_{2})-i\cdot \left(G(i\cdot x_{1})+G(i\cdot x_{2})\right)\\&=&\left(G(x_{1})-i\cdot G(i\cdot x_{1})\right)+i\cdot \left(G(x_{2})-i\cdot G(i\cdot x_{2})\right)\\&=&F(x_{1})+F(x_{2})\end{array}}

Beweisschritt 3.2: Homogenität von F

Für $x\in V$ , $\lambda =\lambda _{1}+i\lambda _{2}\in \mathbb {C}$ und $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ gilt:

{\begin{array}{rcl}F(\lambda \cdot x)&=&F((\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x)\\&=&G((\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x)-i\cdot G\left(i\cdot (\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x\right)\\&=&\lambda _{1}G(x)+i\cdot \lambda _{2}G(x)-i\cdot \left(\lambda _{1}G(i\cdot x)+\lambda _{2}iG(i\cdot x)\right)\\&=&(\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot \left(G(x)-i\cdot G(i\cdot x)\right){\mbox{ mit }}\lambda _{2}G(ix)=-i\lambda _{2}iG(ix)\\&=&(\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot F(x)=\lambda \cdot F(x)\end{array}}

Beweisteil 4: Hahn-Banach Eigenschaften von F

Mit Beweisteil 3 existiert nun ein lineares Funktional $F:V\to \mathbb {C}$ für das noch die beiden Eigenschaften aus der Behauptung nachgewiesen werden müssen. Der reelle Fall von Hahn-Banach liefert zunächst nur die Eigenschaften für $G:V\to \mathbb {R}$ . Also bleibt zu zeigen:

$F|_{U}=f$ und.
$|F(v)|\leq p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Beweisschritt 4.1: Einschränkung von F auf U

Sei $u\in U$ beliebig gewählt. Weil $U$ ein Untervektorraum des $\mathbb {C}$ -Vektorraumes $V$ ist, liegt auch $i\cdot u\in U$ . Damit erhält man:

{\begin{array}{rcl}F(u)&=&G(u)-i\cdot G(\underbrace {i\cdot u} _{\in U}){\mbox{ nach Definition von }}F\\&=&g(u)-i\cdot g(i\cdot u){\mbox{ wegen }}G|_{U}=g\\&=&f(u)\end{array}}

Beweisschritt 4.2: Halbnormbeschränkung

Für den Nachweis der Ungleichung $F(x)\leq p(x)$ für alle $x\in V$ erfolgt eine Fallunterscheidung für:

$F(x)=0$ und
$F(x)\not =0$ .

Beweisschritt 4.3: Halbnormbeschränkung

Fall $F(x)=0$ : Da $p:V\to \mathbb {R}$ eine Halbnorm ist, gilt $p(x)\geq 0$ . Damit erhält man für $F(x)=0$ die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:

F(x)=|F(x)|=0\leq p(x)

Beweisschritt 4.4: Halbnormbeschränkung

Fall $F(x)\not =0$ : Im zweiten Fall sei nun $|F(x)|=r>0$ mit $F(x)=r\cdot e^{i\alpha }$ , $r\in \mathbb {R} ^{+}$ und $\alpha \in [0,2\pi ]$ . Mit $e^{-i\alpha }$ dreht man das komplexwertige $F(x)\not =0$ so um den Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene, dass $F(x)\cdot e^{-i\alpha }$ so, dass $F(x)\cdot e^{-i\alpha }=|F(x)|$ gilt und damit auf der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene liegt.

Beweisschritt 4.5: Halbnormbeschränkung

Damit erhält man folgende Ungleichung:

{\begin{array}{rcl}\underbrace {|F(x)|} _{\in \mathbb {R} ^{+}}&=&r=\underbrace {e^{-i\alpha }\cdot e^{i\alpha }} _{e^{0}=1}\cdot r=e^{-i\alpha }\cdot \underbrace {F(x)} _{=e^{i\alpha }\cdot r}\\&=&F\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right){\mbox{ da }}F\ \mathbb {C} {\mbox{-linear ist}}\\&=&\underbrace {G\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{=r}-i\underbrace {G\left(i\cdot e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{=0}\quad \quad Im(|F(x)|=0{\text{, da}}|F(X)|\in \mathbb {R} \\&=&\underbrace {G\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)\leq p\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{G(z)\leq p(z){\mbox{ mit }}z:=e^{-i\alpha }\cdot x}=\underbrace {|e^{-i\alpha }|} _{=1}\cdot p(x)=p(x)\end{array}}

mit $e^{i\alpha }=\cos(\alpha )+i\cdot \sin(\alpha )$ für alle $\alpha \in \mathbb {R}$ .

Beweisschritt 4.6

Damit besitzt insgesamt das lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {C}$ die folgenden beiden Eigenschaften:

$F|_{U}=f$ und.
$|F(v)|\leq p(v)$ für alle $v\in V$

Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.

Siehe auch

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Quellen/Literatur

↑ Bohnenblust, H. F.; Sobczyk, A. Extensions of functionals on complex linear spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), no. 2, 91--93. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183500302

[1] Bohnenblust, H. F.; Sobczyk, A. Extensions of functionals on complex linear spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), no. 2, 91--93. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183500302

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