Kurs:Funktionentheorie/Folgen und Reihen

Einführung

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index $n$ wird $n$ -tes Glied oder $n$ -te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die Analysis.

Folgen als Abbildungen

Betrachtet man eine Indexmenge $I$ und einen Grundraum $G$ , aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge $a$ als Abbildung verstehen, die jedem Index $n\in I$ ein Element $a_{n}\in G$ aus dem Grundraum $G$ zuordnet. Folgen notiert man in der Regel $(a_{n})_{n\in I}\in G^{I}$ (z.B. $I=\mathbb {N} )$

Beispiele für Folgen

$(a_{1},a_{2},a_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ endliche reelle Zahlenfolge bzw. $n$ -Tupel
$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ist eine reelle Zahlenfolge.
$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {5+n}{n}}+{\frac {5+3n^{2}}{4n^{2}}}i\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ ist eine komplexe Zahlenfolge.

Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge $I=\mathbb {N}$ in den komplexen Zahlen.

Konvergenz von Folgen

Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen eine Grenzwert $a_{0}\in G$ . Der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert läuft gegen 0.

Notation

Für den Grenzwert $a_{0}\in \mathbb {C}$ einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}

mit

n\in \mathbb {N}

.

Definition Folgenkonvergenz

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ eine komplexe Zahlenfolge und $a_{0}\in \mathbb {C}$ . Die Konvergenz von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a_{0}$ wird dann wie folgt definiert:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}\quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\;\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \;\forall n\geq n_{\varepsilon }:\;\left|a_{n}-a_{0}\right|<\varepsilon

.

Notation - Schreibweise

Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise

$a_{n}\to a_{0}$ für $n\to \infty$ (gelesen als $a_{n}\;$ konvergiert gegen $a_{0}\in \mathbb {C}$ für $n$ gegen unendlich) oder
kurz $a_{n}\to a_{0}\in \mathbb {C}$ bzw. $a_{n}{}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{n\to \infty }}a_{0}\in \mathbb {C}$ üblich.

Visualisierung der Konvergenz

Für alle $\varepsilon >0$ gibt es eine Indexschranke $n_{\varepsilon }$ , ab der alle $a_{n}$ mit $n\geq n_{\varepsilon }$ in der $\varepsilon$ -Umgebung liegen.

Semantik

Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}:\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\;\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \;\forall n\geq n_{\varepsilon }:\;\left|a_{n}-a_{0}\right|<\varepsilon

.

Man kann ein beliebig kleines $\varepsilon >0$ wählen und dennoch kann man zu diesem $\varepsilon$ immer eine Indexschranke $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ findet, sodass alle Folgenglieder $a_{n}$ mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als $\varepsilon$ von dem Grenzwert $a_{0}$ entfernt sind ( $\left|a_{n}-a_{0}\right|<\varepsilon$ )

Reihen

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist eine spezielle Folgen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , die aus einer gegebenen Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ durch die Folge der Partialsummen $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit $s_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ entsteht.

Konvergenz von Reihen

Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Absolute Konvergenz

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Aufgabe

Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {1}{k}}\cdot i$ konvergiert, aber nicht absolute konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis.
Überprüfen Sie die folgende Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(i)^{k}\cdot 2^{-k+2}$ auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert.

Reihe als mathematisches Objekt

Die Notation einer Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet algebraisch keine Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen $s_{0}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|$ .

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=s_{0}:=\lim _{n\to \infty }s_{n}

mit

s_{n}:=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|.

Notation

Für den Grenzwert $s_{0}\in \mathbb {C}$ einer Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ mit $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ schreibt man:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=s_{0}

Reihenkonvergenz

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ eine komplexe Zahlenfolge und $s_{0}\in \mathbb {C}$ . Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ gegen $s_{0}$ , d.h:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=s_{0}:\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\;\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \;\forall n\geq n_{\varepsilon }:\;\left|s_{n}-s_{0}\right|<\varepsilon .

Dabei gilt $\left|s_{n}-s_{0}\right|=\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}-s_{0}\right|<\varepsilon$ .

Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra

Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der Reihenkonvergenz in einem topologischen Vektorraum bzw. auf einer topologischen Algebra.

Topologischer Vektorraum

Dabei liefert der topologische Vektorraum $V$

eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen $s_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{n}$ berechnen und
eine Topologie, um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ untersuchen zu können.

Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum

Sei $a_{n}:={\begin{pmatrix}2^{-n}\\3^{-n}\\4^{-n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ . Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe $g:=\sum _{k=0}^{\infty }a_{n}\in \mathbb {R} ^{3}$ als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in topologischen Vektorräume und dem Spezialfall $\mathbb {C}$ . Übertragen Sie den Begriff der Konvergenz bzw. absoluten Konvergenz auf topologische Vektorräume, wenn der $(V,\|\cdot \|)$ wie im Fall $V=\mathbb {R} ^{3}$ ein normierte topologischer Vektorraum ist.

Topologische Algebra - Potenzreihen

Mit einer topologischen Algebra $A$ kann die Potenzreihenalgebra ${\overline {A[t]}}$

topologisiert werden und der topologische Abschluss der Polynomalgebra $A[t]$ betrachtet werden
eine Topologie wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können,
additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra $A[t]$ und die Potenzreihenalgebra ${\overline {A[t]}}$ .

Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen

Betrachtet man Konvexkombinationen der Ordnung $n\in \mathbb {N}$ in dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ , so stellen diese Polynome der Ordnung $n\in \mathbb {N}$ mit Koeffizienten in $\mathbb {R} ^{3}$ dar.

Mit CAS4Wiki kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden.

CAS4Wiki Commands

Literatur

Bourbaki: Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles II/ III, Paris 1970
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart

Weblinks

Siehe auch

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