Kurs:Funktionentheorie/Folgen und Reihen

Einführung[Bearbeiten]

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index $n$ wird $n$ -tes Glied oder $n$ -te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die Analysis.

Folgen als Abbildungen[Bearbeiten]

Betrachtet man eine Indexmenge $I$ und einen Grundraum $G$ , aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge $a$ als Abbildung verstehen, die jedem Index $n\in I$ ein Element $a_{n}\in G$ aus dem Grundraum $G$ zuordnet. Folgen notiert man in der Regel $(a_{n})_{n\in I}\in G^{I}$ (z.B. $I=\mathbb {N} )$

Beispiele für Folgen[Bearbeiten]

$(a_{1},a_{2},a_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ endliche reelle Zahlenfolge bzw. $n$ -Tupel
$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ist eine reelle Zahlenfolge.
$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {5+n}{n}}+{\frac {5+3n^{2}}{4n^{2}}}i\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ ist eine komplexe Zahlenfolge.

Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge $I=\mathbb {N}$ in den komplexen Zahlen.

Konvergenz von Folgen[Bearbeiten]

Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen eine Grenzwert $a_{0}\in G$ . Der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert läuft gegen 0.

Notation[Bearbeiten]

Für den Grenzwert $a_{0}\in \mathbb {C}$ einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}

mit

n\in \mathbb {N}

.

Definition Folgenkonvergenz[Bearbeiten]

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ eine komplexe Zahlenfolge und $a_{0}\in \mathbb {C}$ . Die Konvergenz von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a_{0}$ wird dann wie folgt definiert:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}\quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\;\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \;\forall n\geq n_{\varepsilon }:\;\left|a_{n}-a_{0}\right|<\varepsilon

.

Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise $a_{n}\to a_{0}$ für $n\to \infty$ , gelesen als $a_{n}\;$ konvergiert gegen $a_{0}\in \mathbb {C}$ für $n$ gegen unendlich, oder kurz $a_{n}\to a_{0}\in \mathbb {C}$ üblich.

Visualisierung der Konvergenz[Bearbeiten]

Für alle $\varepsilon >0$ gibt es eine Indexschranke $n_{\varepsilon }$ , ab der alle $a_{n}$ mit $n\geq n_{\varepsilon }$ in der $\varepsilon$ -Umgebung liegen.

Semantik[Bearbeiten]

Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}:\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\;\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \;\forall n\geq n_{\varepsilon }:\;\left|a_{n}-a_{0}\right|<\varepsilon

.

Man kann ein beliebig kleines $\varepsilon >0$ wählen und dennoch kann man zu diesem $\varepsilon$ immer eine Indexschranke $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ findet, sodass alle Folgenglieder $a_{n}$ mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als $\varepsilon$ von dem Grenzwert $a_{0}$ entfernt sind ( $\left|a_{n}-a_{0}\right|<\varepsilon$ )

Reihen[Bearbeiten]

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist eine spezielle Folgen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , die aus einer gegebenen Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ durch die Folge der Partialsummen $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit $s_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ entsteht.

Konvergenz von Reihen[Bearbeiten]

Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Absolute Konvergenz[Bearbeiten]

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Aufgabe[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {1}{k}}\cdot i$ konvergiert, aber nicht absolute konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis.
Überprüfen Sie die folgende Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(i)^{k}\cdot 2^{-k+2}$ auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert.

Reihe als mathematisches Objekt[Bearbeiten]

Die Notation einer Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet algebraisch keine Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen $s_{0}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|$ .

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=s_{0}:=\lim _{n\to \infty }s_{n}

mit

s_{n}:=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|.

Notation[Bearbeiten]

Für den Grenzwert $s_{0}\in \mathbb {C}$ einer Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ mit $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ schreibt man:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=s_{0}

Reihenkonvergenz[Bearbeiten]

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ eine komplexe Zahlenfolge und $s_{0}\in \mathbb {C}$ . Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ gegen $s_{0}$ , d.h: