Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 28

Eisensteinreihen

Definition

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 3}$.  Dann heißt

$G_k(\Gamma ):=\sum _{z\in {\Gamma }^{\prime }}\frac{1}{z^k}$

die Eisensteinreihe zum Gitter $\Gamma$ und zum Gewicht $k$.

Lemma

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 3}$.  Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.

1. Die Eisensteinreihen $G_k(\Gamma )$ sind für  $k\ge 3$  absolut konvergent.
2. Bei  $\Gamma =⟨u,v⟩$  ist

   $G_k(\Gamma )=\sum _{n,m\in \mathbb{Z},(n,m)\ne (0,0)}\frac{1}{{(nu+mv)}^k}.$

3. Für ungerades  $k\ge 3$  ist

   $G_k(\Gamma )=0.$

4. Für  $s\in {ℂ}^{\times }$  ist

   $G_k(s\Gamma )=s^{-k}{G}_k(\Gamma ).$

Beweis

1. Dies ist ein Spezialfall von Lemma 27.7.
2. Das ist klar.
3. Es sei $k$ ungerade. Auf ${\Gamma }^{\prime }$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes $z$ mit sich und mit $-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten

   $\begin{array}{cc}{G}_k(\Gamma )& =\sum _{z\in {\Gamma }^{\prime }}\frac{1}{z^k}\\ & =\sum _{[z]\in {\Gamma }^{\prime }/\pm }(\frac{1}{z^k}+\frac{1}{(-z{)}^k})\\ & =\sum _{[z]\in {\Gamma }^{\prime }/\pm }(\frac{1}{z^k}-\frac{1}{z^k})\\ & =0.\end{array}$

4. Es ist

   $\begin{array}{cc}{G}_k(s\Gamma )& =\sum _{w\in (s\Gamma {)}^{\prime }}\frac{1}{w^k}\\ & =\sum _{z\in {\Gamma }^{\prime }}\frac{1}{(sz{)}^k}\\ & =\frac{1}{s^k}\sum _{z\in {\Gamma }^{\prime }}\frac{1}{z^k}\\ & =\frac{1}{s^k}{G}_k(\Gamma ).\end{array}$

$◻$

Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in Lemma 28.2  (4) beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form $1,\tau$ mit  $\tau \in ℍ$  ist

$G_k(\Gamma )=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^k},$

insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter $\tau$ und damit als Funktion auf $ℍ$ auffassen.

Die $j$-Invariante

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter. Ausgehend von den Eisensteinreihen legt man weitere Invarianten zu $\Gamma$ fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus $ℂ/\Gamma$ (siehe Satz 12.14 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))) berücksichtigt.

Definition

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter. Wir setzen

$g_2=g_2(\Gamma )=60G_4(\Gamma )$

und

$g_3=g_3(\Gamma )=140G_6(\Gamma ),$

wobei $G_4$ und $G_6$ die Werte der Eisensteinreihen sind.

Definition

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter. Wir setzen

$\Delta (\Gamma ):=g_2^3(\Gamma )-27g_3^2(\Gamma )$

und nennen dies die Diskriminante des Gitters $\Gamma$.

Definition

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter. Man nennt

$j(\Gamma ):=\frac{{(12g_2(\Gamma ))}^3}{\Delta (\Gamma )}$

die absolute Invariante oder die $j$-Invariante des Gitters $\Gamma$.

Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der $j$-Invarianten oder der universellen Invarianten.

Bemerkung  

Für ein Gitter der Form  $\Gamma =\mathbb{Z}\tau \oplus \mathbb{Z}\subseteq ℂ$  setzt man  $g_2(\tau )=g_2(\Gamma )$,   $g_3(\tau )=g_3(\Gamma )$,   $\Delta (\tau )=\Delta (\Gamma )$  und  $j(\tau )=j(\Gamma )$. 

Lemma

Für ein Gitter  $\Gamma \subseteq ℂ$  und  $s\in {ℂ}^{\times }$  gelten die folgenden Regeln.

1. Es ist

   $g_2(s\Gamma )=s^{-4}{g}_2(\Gamma ).$

2. Es ist

   $g_3(s\Gamma )=s^{-6}{g}_3(\Gamma ).$

3. Es ist

   $\Delta (s\Gamma )=s^{-12}\Delta (\Gamma ).$

4. Es ist

   $j(s\Gamma )=j(\Gamma ).$

Beweis

Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Lemma 28.2  (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.

$◻$

Die Eigenschaft Lemma 28.7  (4) besagt, dass die $j$-Invariante von streckungsäquivalenten Gittern gleich ist.

Beispiel

Wir betrachten das Gitter  $\Gamma =\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\mathrm{i}$,  für das die Multiplikation mit $\mathrm{i}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Lemma 28.7  (2) auf  $s=\mathrm{i}$  an und erhalten

$g_3(\Gamma )=g_3(\mathrm{i}\Gamma )={\mathrm{i}}^{-6}{g}_3(\Gamma ).$

Daraus folgt  $g_3(\Gamma )=0$. 

Beispiel

Wir betrachten das Gitter  $\Gamma =\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$,  für das die Multiplikation mit $\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Lemma 28.7  (1) auf  $s=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$  an und erhalten

$g_2(\Gamma )=g_2\left(\left(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\right)\Gamma \right)={\left(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\right)}^{-4}{g}_2(\Gamma ).$

Daraus folgt  $g_2(\Gamma )=0$. 

Die Differentialgleichung für die Weierstraßfunktion

Mit Hilfe der Eisensteinreihen können wir die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen Funktion $\mathrm{\wp }$ beschreiben.

Lemma

Die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen $\mathrm{\wp }$-Funktion $\mathrm{\wp }$ im Nullpunkt ist

$\mathrm{\wp }(z)=z^{-2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k}.$

Beweis

Für die Summanden in der Weierstraßschen $\mathrm{\wp }$-Funktion gilt unter der Bedingung  $|z|<|w|$  nach der Ableitung von Satz 7.3 die Gleichung

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2}& =\frac{1}{w^2}(\frac{1}{(1-\frac{z}{w}{)}^2}-1)\\ & =\frac{1}{w^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1){\left(\frac{z}{w}\right)}^n\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\frac{z^n}{w^{n+2}}.\end{array}$

Somit gilt für alle $z$, die betragsmäßig kleiner als alle Gitterpunkte $\ne 0$ sind, die Beschreibung

$\begin{array}{cc}\mathrm{\wp }(z)& =\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in {\Gamma }^{\prime }}(\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2})\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in {\Gamma }^{\prime }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\frac{z^n}{w^{n+2}})\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\left(\sum _{w\in {\Gamma }^{\prime }}\frac{1}{w^{n+2}}\right)z^n\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)G_{n+2}(\Gamma )z^n\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k},\end{array}$

da nach Lemma 28.2  (2) die Eisenstein-Werte zu ungeradem Index $0$ sind.

$◻$

Satz

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter.

Dann besitzt der Körper der elliptischen Funktionen die Beschreibung

$ℂ(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime })=ℂ(\mathrm{\wp })[{\mathrm{\wp }}^{\prime }]/(\mathrm{\wp }{\text{'}}^2-g(\mathrm{\wp }))$

mit dem kubischen Polynom

$g(\mathrm{\wp })=4{\mathrm{\wp }}^3-60G_4(\Gamma )\mathrm{\wp }-140G_6(\Gamma )=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3$

in der Weierstraßschen $\mathrm{\wp }$-Funktion, wobei $G_4(\Gamma )$ und $G_6(\Gamma )$ die Werte der Eisensteinreihen für $\Gamma$ bezeichnen.

Beweis

Es wurde bereits in Lemma 27.13 gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion $\mathrm{\wp }$ ist definitiv nicht konstant, somit ist  $ℂ(\mathrm{\wp })\cong ℂ(T)\subseteq ℂ(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime })$.  Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.

Nach Lemma 28.10 ist

$\mathrm{\wp }(z)=z^{-2}+3G_4{z}^2+5G_6{z}^4+\dots .$

Daraus ergibt sich

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=-2z^{-3}+6G_{4}z+20G_6{z}^3+\dots$

und

$(\mathrm{\wp }(z){)}^3=z^{-6}+9G_4{z}^{-2}+15G_6+\dots$

und

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2=4z^{-6}-24G_4{z}^{-2}-80G_6+\dots ,$

wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion

$h(z)=({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2-4\mathrm{\wp }(z{)}^3+60G_4\mathrm{\wp }(z)+140G_6,$

die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist

$\begin{array}{cc}h(z)& =4z^{-6}-24G_4{z}^{-2}-80G_6+\dots -4(z^{-6}+9G_4{z}^{-2}+15G_6+\dots )+60G_4(z^{-2}+3G_4{z}^2+5G_6{z}^4+\dots )+140G_6\\ & =(4-4)z^{-6}+(-24-36+60)G_4{z}^{-2}+(-80-60+140)G_6{z}^0+\dots .\end{array}$

Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert $0$ besitzt. Daher ist die Funktion nach Lemma 27.3 konstant gleich $0$ und beschreibt eine algebraische Relation zwischen $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$.

$◻$

Bemerkung  

Die Differentialgleichung

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3$

aus Satz 28.11 heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion $\mathrm{\wp }$. Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.

Wir betrachten die Faktorisierung

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3=4(\mathrm{\wp }-e_1)(\mathrm{\wp }-e_2)(\mathrm{\wp }-e_3)$

mit komplexen Zahlen $e_1,e_2,e_3$. Wenn  $\Gamma =⟨v_1,v_2⟩$  das Gitter ist, so sind nach Aufgabe 27.8 die Halbierungspunkte $\frac{v_1}{2},\frac{v_2}{2},\frac{v_1+v_2}{2}$ die Nullstellen von ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also  $e_i=\mathrm{\wp }\left(\frac{v_i}{2}\right)$,  wenn man  $v_3=v_1+v_2$  setzt, und die $e_i$ werden unter $\mathrm{\wp }$ nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach Lemma 27.11 wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert $w$ von $\mathrm{\wp }$ zweifach (mit Vielfachheiten gezählt) angenommen. Wenn  $\mathrm{\wp }(z)=w$  ist, so auch  $\mathrm{\wp }(-z)=w$.  Dies wenden wir auf  $w=e_i$  an, wo wir ein Urbild, nämlich $\frac{v_i}{2}$ schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit $\frac{v_i}{2}$ überein. Daher sind die $e_i$ verschieden, was nach Lemma 4.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)) die Glattheit der Kurve bedeutet.

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