Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Potenzreihen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
und $z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
die \definitionswort {Potenzreihe}{} in $z$ zu den Koeffizienten
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{.}
}
Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man $z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in $z$ darstellt.
Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $0$. Eine Potenzreihe mit \stichwort {Entwicklungspunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Ausdruck der Form
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n} { . }
\inputdefinition
{}
{
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty z^k} { }
die \definitionswort {geometrische Reihe}{} in $z$.
}
{Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{
Für alle
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
$z$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert die Reihe
\mathl{\sum^\infty_{k = 0} z^k}{}
\definitionsverweis {absolut}{}{}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} z^k
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1-z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{ Siehe Aufgabe 7.2. }
Dies bedeutet, dass die geometrische Reihe auf dem beschriebenen Konvergenzbereich eine rationale Funktion darstellt und damit insbesondere nach
Lemma 1.17
komplex-differenzierbar ist. Dieser letzte Sachverhalt gilt für jede Potenzreihe, siehe
Satz 8.12.
{Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \text{ und } \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.8. }
Insbesondere ist das Cauchyprodukt von zwei Potenzreihen wieder eine Potenzreihe.
\zwischenueberschrift{Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}
Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.
\inputdefinition
{}
{
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
die \definitionswort {Exponentialreihe }{} in $z$.
}
Dies ist also die Reihe
\mathdisp {1+z+ \frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + \frac{z^5}{120} + \frac{z^6}{720} + \frac{z^7}{5040} + \cdots} { . }
{Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.11. }
Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exp.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph der reellen Exponentialfunktion} }
\bildlizenz { Exp.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z \defeq \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} } {,} heißt \zusatzklammer {komplexe} {} {} \definitionswort {Exponentialfunktion}{.}
}
Die folgende Aussage nennt man die \stichwort {Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion} {.}
{Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\definitionsverweis {komplexe Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right)
}
{ =} { \exp z \cdot \exp w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.12. }
\zwischenueberschrift{Die trigonometrischen Reihen}
\inputdefinition
{}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!}} { }
die \definitionswort {Kosinusreihe}{} und
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
die \definitionswort {Sinusreihe}{} zu $z$.
}
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes $z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
\mathdisp {\cos z \defeq \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!} \text{ und } \sin z \defeq \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
heißen \stichwort {Kosinus} {} und \stichwort {Sinus} {.} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.
{Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die Funktionen
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \cos z
} {,}
und
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
besitzen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{x+ { \mathrm i} y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ =} { (\exp x) ( \cos y + { \mathrm i} \sin y )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Speziell gilt die \stichwort {eulersche Formel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \mathrm i} y
}
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mathkor {} {\cos 0 =1} {und} {\sin 0 =0} {.}
}{Es ist
\mathkor {} {\cos \left( -z \right) = \cos z} {und} {\sin \left( -z \right) = - \sin z} {.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z
}
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin z
}
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) - \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 { \mathrm i} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gelten die Additionstheoreme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos (z+w)
}
{ =} { \cos z \, \cos w - \sin z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w)
}
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos z)^2 + (\sin z)^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.16. }
Für reelle $z$ sind
\mathkor {} {\sin z} {und} {\cos z} {}
wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles $z$ das Paar
\mathl{( \cos z, \sin z)}{} ein Punkt auf dem \stichwort {Einheitskreis} {}
\mathl{{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }}{} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als
\mathl{( \cos z, \sin z )}{} schreiben lässt, wobei man $z$ als Winkel
\zusatzklammer {im Bogenmaß} {} {}
interpretieren kann. Dabei tritt die Periode $2 \pi$ auf, wobei die \stichwort {Kreiszahl} {} $\pi$ als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe
Lemma 21.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Mit dieser Zahl $\pi$ kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren.
{Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${\mathbb C}$ folgende \stichwort {Periodizitätseigenschaften} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+2 \pi \right)
}
{ = }{ \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+2 \pi \right)
}
{ = }{ \sin z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi \right)
}
{ = }{ - \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi \right)
}
{ = }{ - \sin z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi/2 \right)
}
{ = }{ - \sin z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi/2 \right)
}
{ = }{ \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi/2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 3\pi/2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 2 \pi
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form
\mathbed {{ \frac{ \pi }{ 2 } } +n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi/2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 3\pi/2
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 2 \pi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen des Sinus sind von der Form
\mathbed {n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.17. }
\zwischenueberschrift{Funktionenfolgen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exp_series.gif} }
\end{center}
\bildtext {Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion} }
\bildlizenz { Exp series.gif } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir haben gesehen, dass die Exponentialreihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stellt also die Polynomfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \frac{z^k}{k!}
}
{ =} { 1+z+ \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \cdots + \frac{z^n}{n!}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine \anfuehrung{approximierende Funktion}{} für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von $z$
\zusatzklammer {bei fixiertem $n$} {} {.}
Wir werden verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion und andere durch eine Potenzreihe gegebene FUnktionen stetig sind.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {punktweise konvergiert}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
\zusatzklammer {in ${\mathbb K}$} {} {}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \defeq} { \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine sogenannte \stichwort {Grenzfunktion} {}
\maabb {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
definiert.
Die Funktionenfolge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ = }{ \sum_{k = 0 }^n { \frac{ 1 }{ k! } } z^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion.
Selbst wenn
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sämtliche Funktionen $f_n$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.
Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {gleichmäßig konvergiert}{,} wenn es eine Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
derart gibt, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ mit
\mathdisp {d { \left( f_n(x) , f(x) \right) } \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0 \text{ und alle } x \in T} { }
gibt.
}
Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion $f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.
{Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei}
\faktvoraussetzung {\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{,}
die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Funktion $f$ konvergiert.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.34. }
\zwischenueberschrift{Das Konvergenzkriterium von Weierstraß}
\inputdefinition
{
}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {T} {{\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$. Es ist eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
oder $\infty$.
}
Die folgende Aussage heißt das \stichwort {Konvergenzkriterium von Weierstraß} {.} Es geht darin um Funktionenfolgen $f_n$, die als Partialsummen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_n
}
{ = }{\sum_{k = 0}^n g_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von Funktionen $g_k$ gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.
\inputfaktbeweis
{Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $T$ eine Menge und sei
\maabbdisp {g_k} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Funktionenfolge mit}
\faktvoraussetzung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty \Vert {g_k} \Vert
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{}
\zusatzklammer {also die Funktionenfolge
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ f_n
}
{ = }{ \sum_{k = 0}^n g_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
und
\definitionsverweis {punktweise}{}{} \definitionsverweis {absolut}{}{}
gegen eine Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { g_k(x) }
}
{ \leq }{ \Vert {g_k} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aufgrund des
Majorantenkriteriums
die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k(x)}{}
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{,}
und das bedeutet, dass die Funktionenreihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{} punktweise absolut konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n (x)
}
{ \defeq }{ \sum_{k = 0}^n g_k(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty g_k(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge $f_n$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund des
Cauchy-Kriteriums
für Reihen gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = n+1}^\infty \Vert {g_k} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit haben wir für
\mathkor {} {n \geq n_0} {und jedes} {x \in T} {}
insgesamt die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f_n (x) -f(x) }
}
{ =} { \betrag { \sum_{ k = n+1}^\infty g_k (x) }
}
{ \leq} { \sum_{ k = n+1} ^\infty \betrag { g_k(x) }
}
{ \leq} { \sum_{ k = n+1} ^\infty \Vert {g_k } \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
}
{}{}{.}}
{}