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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 7

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Potenzreihen

Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl , , ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in darstellt.

Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt . Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ist ein Ausdruck der Form


Für jedes heißt die Reihe

die geometrische Reihe in .



Für alle komplexen Zahlen mit konvergiert die Reihe absolut und es gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 7.2.


Dies bedeutet, dass die geometrische Reihe auf dem beschriebenen Konvergenzbereich eine rationale Funktion darstellt und damit insbesondere nach Lemma 1.17 komplex-differenzierbar ist. Dieser letzte Sachverhalt gilt für jede Potenzreihe, siehe Satz 8.12.



Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in .

Dann ist das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.8.


Insbesondere ist das Cauchyprodukt von zwei Potenzreihen wieder eine Potenzreihe.



Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion

Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.


Für jedes heißt die Reihe

die Exponentialreihe in .

Dies ist also die Reihe



Für jedes ist die Exponentialreihe

absolut konvergent.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.11.


Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion



Die Abbildung

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.


Für komplexe Zahlen gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 7.12.



Die trigonometrischen Reihen

Für heißt

die Kosinusreihe und

die Sinusreihe zu .

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.



Die Funktionen

und

besitzen für folgende Eigenschaften.

  1. Für ist

    Speziell gilt die eulersche Formel

  2. Es ist und .
  3. Es ist und .
  4. Es ist

    und

  5. Es gelten die Additionstheoreme

    und

  6. Es gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 7.16.


Für reelle sind und wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles das Paar ein Punkt auf dem Einheitskreis ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als schreiben lässt, wobei man als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode auf, wobei die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe Lemma 21.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Mit dieser Zahl kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren.


Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.

  1. Es ist und für alle .
  2. Es ist und für alle .
  3. Es ist und für alle .
  4. Es ist , , und . Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form , .
  5. Es ist , , , und . Die Nullstellen des Sinus sind von der Form , .

Beweis

Siehe Aufgabe 7.17.



Funktionenfolgen
Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Wir haben gesehen, dass die Exponentialreihe für jedes konvergiert. Für jedes stellt also die Polynomfunktion

eine „approximierende Funktion“ für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von (bei fixiertem ). Wir werden verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion und andere durch eine Potenzreihe gegebene FUnktionen stetig sind.


Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

(in ) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

eine sogenannte Grenzfunktion definiert.

Die Funktionenfolge konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion. Selbst wenn (bei ) sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.


Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

derart gibt, dass es zu jedem ein mit

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.


Es sei

eine Teilmenge und es sei

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert.

Dann ist stetig.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.34.



Das Konvergenzkriterium von Weierstraß

Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .

Die folgende Aussage heißt das Konvergenzkriterium von Weierstraß. Es geht darin um Funktionenfolgen , die als Partialsummen von Funktionen gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.


Es sei eine Menge und sei

eine Funktionenfolge mit

Dann konvergiert die Reihe (also die Funktionenfolge ) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

Sei . Wegen ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen und

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert. Dazu sei vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein mit

für alle . Damit haben wir für und jedes insgesamt die Abschätzung




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