Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 7

Potenzreihen

Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

die Potenzreihe in ${}z$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$, ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man ${}z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in ${}z$ darstellt.

Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}0$. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ ist ein Ausdruck der Form

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

Definition

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$

die geometrische Reihe in ${}z$.

Satz

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 7.2.

$\Box$

Dies bedeutet, dass die geometrische Reihe auf dem beschriebenen Konvergenzbereich eine rationale Funktion darstellt und damit insbesondere nach Lemma 1.17 komplex-differenzierbar ist. Dieser letzte Sachverhalt gilt für jede Potenzreihe, siehe Satz 8.12.

Lemma

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Dann ist das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.8.

$\Box$

Insbesondere ist das Cauchyprodukt von zwei Potenzreihen wieder eine Potenzreihe.

Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion

Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.

Definition

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}z$.

Dies ist also die Reihe

$1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .$

Satz

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

absolut konvergent.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.11.

$\Box$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

Satz

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 7.12.

$\Box$

Die trigonometrischen Reihen

Definition

Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}z$.

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes ${}z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

$\cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

Satz

Die Funktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

besitzen für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

1. Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

   ${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

   Speziell gilt die eulersche Formel

   ${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

2. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
3. Es ist ${}\cos \left(-z\right)=\cos z$ und ${}\sin \left(-z\right)=-\sin z$.
4. Es ist

   ${}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$

   und

   ${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$

   und

   ${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$

6. Es gilt

   ${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 7.16.

$\Box$

Für reelle ${}z$ sind ${}\sin z$ und ${}\cos z$ wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles ${}z$ das Paar ${}(\cos z,\sin z)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als ${}(\cos z,\sin z)$ schreiben lässt, wobei man ${}z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode ${}2\pi$ auf, wobei die Kreiszahl ${}\pi$ als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe Lemma 21.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Mit dieser Zahl ${}\pi$ kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren.

Satz

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}{\mathbb {C} }$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist ${}\cos \left(z+2\pi \right)=\cos z$ und ${}\sin \left(z+2\pi \right)=\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
2. Es ist ${}\cos \left(z+\pi \right)=-\cos z$ und ${}\sin \left(z+\pi \right)=-\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Es ist ${}\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und ${}\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$ ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$. Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form ${}{\frac {\pi }{2}}+n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$. Die Nullstellen des Sinus sind von der Form ${}n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.17.

$\Box$

Funktionenfolgen

Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Wir haben gesehen, dass die Exponentialreihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$ für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ konvergiert. Für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ stellt also die Polynomfunktion

${}f_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n!}}\,$

eine „approximierende Funktion“ für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von ${}z$ (bei fixiertem ${}n$). Wir werden verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion und andere durch eine Potenzreihe gegebene FUnktionen stetig sind.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

(in ${}{\mathbb {K} }$) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

${}f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$

eine sogenannte Grenzfunktion ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ definiert.

Die Funktionenfolge ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}z^{k}$ konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion. Selbst wenn (bei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$) sämtliche Funktionen ${}f_{n}$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion ${}f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$

eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert.

Dann ist ${}f$ stetig.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.34.

$\Box$

Das Konvergenzkriterium von Weierstraß

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Die folgende Aussage heißt das Konvergenzkriterium von Weierstraß. Es geht darin um Funktionenfolgen ${}f_{n}$, die als Partialsummen ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}$ von Funktionen ${}g_{k}$ gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.

Satz

Es sei ${}T$ eine Menge und sei

$g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktionenfolge mit

${}\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ (also die Funktionenfolge ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}$) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Beweis

Sei ${}x\in T$. Wegen ${}\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \Vert {g_{k}}\Vert$ ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)$ absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen ${}f_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)$ und

${}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)\,.$

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}\sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}n\geq n_{0}$. Damit haben wir für ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}x\in T$ insgesamt die Abschätzung

${}\vert {f_{n}(x)-f(x)}\vert =\vert {\sum _{k=n+1}^{\infty }g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,.$

$\Box$

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