Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	3	3	3	3	4	3	10	2	3	3	4	4	2	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\11\\106\\31\end{pmatrix}}\,?$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}3x\geq -8\,$

und

${}7x\leq 10\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf ${}M$, die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

$g\colon N\longrightarrow M$

mit

${}g\circ f=\operatorname {Id} _{M}\,$

gibt es?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$7,103{\overline {4002}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Anzahl der Tripel ${}(i,j,k)\in \mathbb {N} ^{3}$ mit

${}i+j+k=5\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?