Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/23/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 5 8 3 6 2 4 2 3 4 5 4 8 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Diagonalmatrix.
  2. Der Kern zu einer linearen Abbildung
  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  5. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Basen im .
  2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Aufgabe * (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

  1. Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
  2. Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
  3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Austria States Cities.png

Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten (die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland). Es sei die Menge der Bundesländer und sei die Relation auf , die die Angrenzungsbeziehung (Nachbarschaftsbeziehung) beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.

  1. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt diese Relation?
  2. Bestimme die Faser zu Kärnten.
  3. Gibt es eine Kette in mit für alle , bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?


Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

  1. Finde den kleinsten Exponenten derart, dass die Potenzierung

    die Identität ist.

  2. Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch , , , gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das arithmetische Mittel bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.

  1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile bis Zeile ).
  2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ist.
  3. Zeige, dass in der -ten Zeile die Zahlen , , der Binomialverteilung stehen.


Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.