Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/24/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	3	2	7	1	4	12	6	4	3	2	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&+3y&\,\,\,\,-z&+w&=&2\\2x&\,\,\,\,-y&-2z&+w&=&0\\-x&+y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\x&+2y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&5&0\\4&4&1\\0&0&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {10000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}=1$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}=1$.

1. Berechne ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$.
2. Berechne ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$.
3. Berechne ${}x_{0}\cdot y_{0},\,x_{1}\cdot y_{1}$ und ${}x_{2}\cdot y_{2}$.
4. Konvergiert die Produktfolge ${}z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$ innerhalb der rationalen Zahlen?

Aufgabe * (12 (2+1+2+3+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$ (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von ${}I_{2}$, nachdem einmal die Regel ${}1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
3. Bestimme ein Intervall der Form ${}[{\frac {a}{100}},{\frac {a}{100}}+{\frac {1}{100}}]$ mit ${}a\in \mathbb {N}$, das ganz in ${}I_{2}$ enthalten ist.
4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{2k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
5. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.
6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl ${}c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge ${}1$ besitzt?

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

	Grad	Bogenmaß	Prozent
	${}\,$	${}\,$	${}100\,\%$
	${}270^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}{\frac {\pi }{10}}$	${}\,$
	${}60^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}\pi$	${}\,$
	${}\,$	${}\,$	${}1\,\%$

Aufgabe * (9 (2+1+2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Beim Skat gibt es ${}32$ Karten, darunter ${}4$ Buben, und jeder Spieler bekommt ${}10$ Karten.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle ${}4$ Buben bekommt.
2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle ${}4$ Buben bekommt.
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) ${}2$ Buben bekommt.
4. Spieler ${}A$ hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler ${}B$ ebenfalls zwei Buben hat?