Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 3 4 4 3 1 4 3 2 2 7 4 4 6 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Die Eulersche Zahl.
  5. Der Sinus zu einem Winkel .
  6. Ein Laplace-Raum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
  2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz von Vieta.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die reelle Zahl

rational?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper , die in einem größeren angeordneten Körper

nicht konvergiert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Schreibe die Menge

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei derart, dass es ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit

gibt. Zeige, dass man

schreiben kann, wobei eine positive natürliche Zahl ist und es zu ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

gibt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Berechne die Werte von an den Stellen .
  2. Skizziere den Graphen von oberhalb von . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
  3. Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe * (6 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien Ereignisse mit und mit . Zeige