Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 26/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Halbiere die ${}1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?

${\frac {3}{6}},\,{\frac {2}{6}},\,{\frac {2}{6}}\cdot 15,\,2^{-3}\cdot 7\cdot 11,\,2^{-3}\cdot 7\cdot 11^{-1},\,\sum _{n=1}^{6}{\frac {1}{n}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne ${}0{,}5\cdot 0{,}2$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$0{,}000000000000000007\cdot 0{,}0000000000000006.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne ${}1{,}0205\cdot 0{,}0073$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von ${}{\frac {1}{84}}$, das ein Dezimalbruch ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das arithmetische Mittel von zwei Dezimalbrüchen ${}a_{1}$ und ${}a_{2}$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als ${}{\frac {1}{100}}$ sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen ${}{\frac {1}{1000}}$ und ${}1$ (einschließlich).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left(3\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}\right)}\cdot {\left(5\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}+2\cdot 10^{-1}+4\cdot 10^{-3}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$6{,}9\cdot 10^{-4}\cdot 7{,}3\cdot 10^{-9}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$4{,}3\cdot 10^{-6}+6{,}4\cdot 10^{-5}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

$0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037.$

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ist die Zahl

$\sum _{n=1}^{10}{\frac {1}{n}}.$

ein Dezimalbruch?

Aufgabe * Aufgabe 26.14 ändern

Zeige, dass eine rationale Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form ${}2^{i}\cdot 5^{j}$ mit ${}i,j\in \mathbb {N}$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung ${}\varphi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

${}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,$

auf

${}\varphi (z)=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\,$

abbildet. Bei ${}\varphi (z)$ bezieht sich also die Ziffer ${}a_{i}$ nicht mehr auf ${}10^{i}$, sondern auf ${}10^{-i}$.

1. Berechne ${}\varphi (514,73)$.
2. Welche Dezimalbrüche werden unter ${}\varphi$ auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt

   ${}\varphi (z+w)=\varphi (z)+\varphi (w)\,?$

4. Zeige, dass die Beziehung

   ${}\varphi (10^{k}\cdot z)={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z)\,$

   für alle Dezimalbrüche ${}z$ und ganze Zahlen ${}k$ gilt.

5. Ist ${}\varphi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine rationale Zahl ${}z\neq 0$ sei in der Form

$\pm \prod _{p{\text{ Primzahl}}}p^{\nu _{p}(z)}$

gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne im ${}7$er-System

$0{,}026\cdot 3{,}605.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne im ${}5$er-System

$0{,}0230241\cdot 32{,}1102+4{,}301\cdot 2{,}133.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}a\neq b$ Basen zu einem Stellenwertsystem (${}a$-er System und ${}b$-er System). Es sei ${}z$ eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis ${}a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis ${}b$?

Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Unterring, wenn ${}0,1,-1\in S$ ist und wenn ${}S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von ${}\mathbb {Q}$ bildet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

${}R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}\,$

ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei ${}T=\emptyset$, ${}T=\{3\}$, ${}T=\{2,5\}$, ${}T={\mathbb {P} }$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige die Abschätzungen

${}0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,$

aus Beispiel 26.9 durch Multiplikation der Abschätzungen mit ${}7$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Approximiere die rationale Zahl ${}{\frac {7}{3}}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal ${}10^{-4}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Approximiere die rationale Zahl ${}{\frac {1}{6}}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal ${}10^{-2}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ der Dezimalbruch

$\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}$

die rationale Zahl ${}{\frac {1}{3}}$ mit einem Fehler von maximal ${}10^{-k}$ approximiert (von unten).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.

$7{,}874802,\,{\frac {4}{9}},\,{\frac {3}{13}},\,4\cdot 5^{-1}\cdot 6^{-1}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Halbiere den Dezimalbruch ${}297{,}0752209$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$760982393473{,}90354771045729$

die dritte Nachkommaziffer.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches

$7601{,}4550738.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe, dass sich bei der Halbierung (und bei der Fünftelung) eines Dezimalbruches die Anzahl der Nachkommastellen um höchstens ${}1$ erhöht.

Aufgabe * Aufgabe 26.32 ändern

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Schüler sollen die ${}1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der ${}5$, also ${}5^{1},5^{2},5^{3},...$ auszurechnen. Er sagt: „Hast du wieder nicht aufgepasst“? Sie sagt: „Doch, das ist doch das gleiche“. Wer hat recht?

Man nennt einen Algorithmus parallelisierbar, wenn man ihn in einfachere Teilalgorithmen aufspalten kann, die in dem Sinne voneinander unabhängig sind, dass sie nicht die Ergebnisse voneinander benötigen (es entstehen also keine Wartezeiten).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Klasse soll den fünften Teil einer Zahl ausrechnen, die im Zehnersystem durch ${}27$ Ziffern gegeben ist. In der Klasse gibt es ${}28$ Kinder. Wie teilt Gabi Hochster die Aufgabe auf?

Inwiefern ist die Halbierung (Fünftelung) eines Dezimalbruches parallelisierbar?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine ${}3{\text{ plus}}$ (${}{=2{,}7}$), eine ${}1{\text{ minus}}$ (${}{=1{,}3}$), eine ${}3$ und eine ${}2{\text{ plus}}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne ${}401{,}0013507\cdot 0{,}002056$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Approximiere die rationale Zahl ${}{\frac {1}{7}}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal ${}10^{-6}$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Halbiere den Dezimalbruch ${}30437{,}09134508902$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$876059301193674{,}2903347310459901$

die fünfte Nachkommaziffer.