Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 31

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}2x-5y=3\,.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung

${}7x+2y-9z=-3\,$

sind.

1. ${}(0,0,0)$,
2. ${}(3,3,3)$,
3. ${}(0,{\frac {1}{5}},0)$,
4. ${}(-2,7,{\frac {1}{3}})$.

Wähle „zufällig“ eine Dreiertupel. Ist es eine Lösung der Gleichung?

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}x+y+z=0\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x+7y-3z+6u+5v=0\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}-{\frac {9}{4}}x+{\frac {8}{5}}y-{\frac {5}{3}}z={\frac {2}{7}}\,.$

Aufgabe

Skizziere die Lösungsmenge der linearen Gleichung

${}4x+7y=6\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$.

Aufgabe

Finde zum linearen Gleichungssystem

${}{\frac {7}{3}}x-{\frac {8}{5}}y-{\frac {3}{2}}z={\frac {4}{9}}\,$

ein äquivalentes Gleichungssystem  (also eines mit der gleichen Lösungsmenge), dessen Koeffizienten zu ${}\mathbb {Z}$ gehören.

Aufgabe

Entscheide, ob die folgenden Tupel Lösungen des linearen Gleichungssystems

${}3x-6y+4z=1\,,$

${}-2x+5y-4z=-3\,,$

sind.

a) ${}\left(-1,\,0,\,1\right)$,

b) ${}\left(2,\,3,\,{\frac {7}{2}}\right)$,

c) ${}\left(1,\,3,\,4\right)$.

Aufgabe

Die Punkte (zwischen ${}0$ und ${}15$) in einem Kurs setzen sich aus der mündlichen Note, die zu einem Drittel eingeht, und der schriftlichen Note, die zu zwei Dritteln eingeht, zusammen.

1. Erstelle eine Funktion, die die Gesamtpunktzahl aus den Teilergebnissen berechnet.
2. Erstelle eine Gleichung, die beschreibt, dass die Gesamtpunktzahl gleich ${}11$ ist.
3. Lucy Sonnenschein war während der Unterrichtsstunden etwas unaufmerksam, was sich in ihrer mündlichen Note mit ${}7$ Punkten niederschlägt. Wie muss sie schriftlich abschneiden, um auf ihre gewünschte Gesamtpunktzahl von ${}11$ Punkten zu kommen?
4. Löse das Gleichungssystem aus Teil (2). Unterscheide zwischen mathematisch korrekten Lösungen und korrekten Lösungen, die im Kontext sinnvoll interpretiert werden können.
5. Finde für mathematisch korrekte Lösungen, die auf den ersten Blick im gegebenen Kontext nicht sinnvoll interpretiert werden können, doch eine sinnvolle Interpretation.
6. Interpretiere die zugehörige homogene Gleichung.

Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe

Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für drei Pappspieler und vier handsignierte Fotos zusammen 55 Euro und Heinz zahlt für fünf Pappspieler und drei handsignierte Fotos zusammen ${}66$ Euro. Wie viel kostet ein Pappspieler und wie viel kostet ein handsigniertes Foto?

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

$2x+3y=7{\text{ und }}5x+4y=3.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${\frac {3}{7}}x-{\frac {4}{11}}y=-{\frac {7}{3}}{\text{ und }}-{\frac {4}{7}}x+{\frac {5}{3}}y={\frac {6}{5}}.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

$x+y=1{\text{ und }}y=1$

über dem Körper mit zwei Elementen.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

$x=-8{\text{ und }}y=5.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

$x=5,\,2y=3,\,4z+w=3.$

Aufgabe *

Sie wollen für eine Party ${}100$ Liter an Getränken einkaufen und dafür ${}80$ € ausgeben. Sorte ${}A$ kostet ${}70$ Cent pro ${}1,25$-Liter-Flasche, Sorte B kostet ${}1,40$ € pro ${}750$-ml-Flasche. Wie viele Flaschen kaufen Sie von jeder Sorte? Zusatzfrage: Weil man nur ganze Flaschen kaufen kann, kommt man nicht exakt auf ${}100$ Liter und ${}80$ €. Wie groß ist der Fehler?

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${\frac {2}{9}}x+{\frac {3}{10}}y+{\frac {5}{3}}=-{\frac {1}{7}}x+{\frac {6}{5}}y-{\frac {3}{5}}{\text{ und }}-{\frac {3}{8}}x+{\frac {8}{5}}y-{\frac {1}{3}}=-{\frac {1}{6}}x+{\frac {4}{7}}y+{\frac {1}{5}}.$

Aufgabe

Es sei ein lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ und ein zweites lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen ${}H_{1},\ldots ,H_{m}$ gegeben, beide über dem Körper ${}K$ und in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{r}$. Wie verhält sich die Lösungsmenge ${}L_{1}$ zum ersten System und die Lösungsmenge ${}L_{2}$ zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?

Aufgabe

Über dem Körper ${}K$ sei ein lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ und ein zweites lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ gegeben. Wie verhält sich die Lösungsmenge ${}L_{1}$ zum ersten System und die Lösungsmenge ${}L_{2}$ zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?

Aufgabe

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x-2y+6z&=&3\\3x+7y+5z&=&2\\5x-2y+4z&=&-5\,.\end{matrix}}$

Finde Tupel ${}(x,y,z)$, die je zwei dieser Gleichungen erfüllen, aber nicht die dritte.

Aufgabe

Interpretiere Lemma 31.3, wenn nur eine Variable vorliegt.

Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Überprüfe, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung

${}3x-5y+4z=11\,$

sind.

1. ${}(2,1,3)$,
2. ${}(0,0,{\frac {11}{4}})$,
3. ${}(1,2,1)$,
4. ${}(4,2,6)$,
5. ${}(3,{\frac {2}{5}},1)$,
6. ${}(1,11,111)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}-7x-8y=5\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}-{\frac {3}{4}}x+{\frac {7}{2}}y-{\frac {7}{9}}z+{\frac {6}{7}}w={\frac {4}{5}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

$4x-5y=6{\text{ und }}2x+11y=-3.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

$-{\frac {4}{5}}x-{\frac {3}{8}}y=-{\frac {3}{5}}{\text{ und }}-{\frac {6}{7}}x+{\frac {1}{8}}y={\frac {4}{9}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{11}}y+{\frac {4}{5}}=-{\frac {1}{2}}x+{\frac {6}{5}}y-{\frac {7}{4}}{\text{ und }}-{\frac {1}{8}}x+{\frac {7}{6}}y-2=-{\frac {4}{3}}x+{\frac {2}{7}}y+{\frac {3}{5}}.$