Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 28/latex

\setcounter{section}{28}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {a\in \Z} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.} Wir betrachten die \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ a }{ \longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z/(a) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z/(a) , \Z \right) } \longrightarrow \Z \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z , \Z \right) } \longrightarrow \Z \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z , \Z \right) } \longrightarrow E \cong \Z/(a) \longrightarrow 0} { }
führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\Z^n} {\Z^m } {} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z^n \, \stackrel{ \varphi }{ \longrightarrow} \, \Z^m \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, D \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{.} Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( D , \Z \right) } \longrightarrow \Z^m \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^m , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) }} { }
führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\Z^n} {\Z^m } {} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z^n \, \stackrel{ \varphi }{ \longrightarrow} \, \Z^m \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, D \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{,} wobei $D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( D , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) } \longrightarrow E \longrightarrow 0} { }
führt, wobei $E$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $D$ ist.

}
{} {}

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Der $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M }^{ * } }
{ =} { \operatorname{Hom}_{ R } { \left( M , R \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt der \definitionswort {duale Modul}{} zu $M$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathl{L,M,N}{.} Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow { N }^{ * } \longrightarrow { M }^{ * } \longrightarrow { L }^{ * }} { }
der \definitionsverweis {dualen Moduln}{}{} führt.

}
{} {}

Ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} heißt \definitionswort {Torsionsmodul}{,} wenn es zu jedem
\mathl{v \in M}{} ein
\mathbed {r \in R} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rv }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Torsionsmodul}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {duale Modul}{}{}
\mathl{{ M }^{ * }=0}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein endlich erzeugtes Monoid und \maabbdisp {\gamma} {M} {\Z } {} ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1}] \right) } \right) }_{\mathbb C} } { { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {} und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg \maabbdisp {} {S^1 } { { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {.} Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus $\gamma$ durch $\N$ faktorisiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ das \definitionsverweis {punktierte Spektrum}{}{} zu
\mathl{R={\mathbb C}[U,V,Z]/(U^2+V^2 -Z^2)}{.} Man gebe einen expliziten Erzeuger der \definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{} von $M$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} \xi_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \xi_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \xi_n \end{pmatrix}} { }
eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
\mathl{\xi_j}{} in einem Körper $K$ seien. Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} der von $A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem $K^n \setminus \{0\}$ genau dann \definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} der $\xi_j$ übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} der zyklischen Gruppe
\mathl{\Z/(5)}{} auf ${\mathbb C}^3$ durch Potenzen der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \xi & 0 & 0 \\ 0 & \xi & 0 \\0 & 0 & \xi^3 \end{pmatrix}} { , }
wobei $\xi$ eine fünfte \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} sei. Bestimme den \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_2$ auf dem ${\mathbb C}^2$ und es sei \maabbdisp {} {{\mathbb C}^2 \setminus T} { { \left( {\mathbb C}^2 \backslash S_2 \right) } \setminus q(T) } {} die zugehörige \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{,} wobei $T$ der \definitionsverweis {Fixraum}{}{} der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine nichttriviale \definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{.} Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen $G$-\definitionsverweis {invarianten Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq K^n}{} das Komplement
\mathl{K^n \setminus U}{} eine Dimension
\mathl{\geq n-1}{} besitzt.

}
{} {}

Eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {klein}{,} wenn sie keine \definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{} enthält.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} eine \definitionsverweis {kleine Gruppe}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq { \left( \operatorname{Spek} { \left( K[X_1 , \ldots , X_n ]^G \right) } \right) }_{\mathbb C}}{} gibt, deren \definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{} gleich $G$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} der zyklischen Gruppe
\mathl{\Z/(3)}{} auf ${\mathbb C}^4$ durch Potenzen der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \xi & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \xi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \xi^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \xi^2 \end{pmatrix}} { , }
wobei $\xi$ eine dritte \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} sei. Bestimme den \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {singuläre Ort}{}{} der affinen Varietät
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( A^2-BCD \right) } }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$} {} {} aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$ unter der in Beispiel 28.5 besprochenen Quotientenabbildung sind.

}
{} {}