Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 28

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Die lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen

In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass im Falle der ADE-Singularitäten die operierende Gruppe als lokale Fundamentalgruppe des Invariantenringens, also als Fundamentalgruppe des punktierten Quotientenraumes wiederkehrt. Die A-Singularitäten sind Monoidringe der Form , die operierende Gruppe ist die zyklische Gruppe und dies ist auch die lokale Fundamentalgruppe. In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns generell mit der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen, wobei wir diese wieder wie in der neunten Vorlesung als Invariantenringe zu einer kommutativen Gruppe und als Ringe der neutralen Stufe einer Gradierung auf einem Polynomring auffassen.

Die Grundidee ist folgende: Wenn ein Monoid ist und

ein Monoidhomomorphismus, so induziert dies nach Korollar 8.6 einen -Algebrahomomorphismus

und damit eine Spektrumsabbildung

also einen Morphismus der punktierten Geraden in das Spektrum des Monidringes. In der natürlichen Topologie liegt somit eine stetige Abbildung

vor. Durch Einschränken dieser Abbildung auf den Einheitskreis erhält man eine stetige Abbildung des Kreises nach (bzw. in eine gewisse offene Teilmenge ) und damit einen geschlossenen Weg. Es wird sich herausstellen, dass diese Wege, unter bestimmten Voraussetzungen, zur Berechnung der Fundamentalgruppe entscheidend sind.

Zur weiteren Durchführung dieser Idee sei das Monoid als

zu einem surjektiven Gruppenhomomorphismus (einer Graduierung)

gegeben. Dann ist der Ring der neutralen Stufe in dieser Graduierung und nach Satz 9.5 der Invariantenring zur zugehörigen Operation der Charaktergruppe auf . Die zugehörige Spektrumsabbildung

induziert, wenn man sie auf geeignete offene Teilmengen einschränkt, in der natürlichen Topologie eine Überlagerung, mit deren Hilfe man in vielen Fällen (aber nicht ohne weitere Voraussetzungen) die lokale Fundamentalgruppe berechnen kann. Eine wichtige Voraussetzung ist, dass endlich ist. Die Formulierung im folgenden Satz ist ziemlich aufwändig, vereinfacht sich aber wesentlich, wenn man an und denkt.



Satz  

Es sei eine kommutative endliche Gruppe und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit . Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als -Graduierung auf dem Polynomring und als Operation der Charaktergruppe auf dem auf. Es sei der Kern von , das zugehörige Monoid und

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene -invariante Teilmenge derart gegeben, dass ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass mindestens die Kodimension besitzt und dass die induzierte Operation von auf fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Fundamentalgruppe von

    ist .

  2. Es sei derart, dass[1] ist. Die Zuordnung

    induziert einen Gruppenisomorphismus

  3. Die zu gehörende Abbildung

    ( sei eine Basis von ) ergibt durch Einschränkung auf einen stetigen geschlossenen Weg

  4. Die Liftung des Weges aus (3) nach mit dem Anfangspunkt ist durch

    gegeben. Der Weg repräsentiert das nach (2) zu gehörende Element in der Fundamentalgruppe .

Beweis  

(1) folgt aus Satz 27.6, da wegen der Bedingung an die Kodimension[2] einfach zusammenhängend und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist.
(2). Die Abbildung ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung ist auf der Untergruppe trivial. Für ist ja und somit ist

Daher ist in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus

also ein Charakter auf . Zur Bestimmung des Kerns von sei zunächst die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus

auf . Doch dann ist natürlich für die Basis von und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss für jedes gelten. Doch dann ist durch

eine Fortsetzung von nach gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe 28.3.
(3). Der Monoidhomomorphismus

führt zu einem -Algebrahomomorphismus

und damit zu einem Morphismus der zugehörigen Spektren, der Spektren, und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer (in der natürlichen Topologie) stetigen Abbildung

Da diese Abbildung über faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in . Die Einschränkung auf den Einheitskreis ist natürlich ebenfalls stetig.

(4). Wir haben ein kommutatives Diagramm

wobei durch definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm

Die Liftung spielt sich nun im Wesentlichen links ab, d.h. es muss der einfach geschlossene Weg

bezüglich der -ten Potenz geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung

Die -te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ist

Durch diese Zahlen ist auch der zu gehörende Charakter aus Teil (2) gegeben.


Bemerkung  

Wir betrachten eine Graduierung des Polynomringes durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

in eine endliche zyklische Gruppe. Es sei vorausgesetzt, dass ein Erzeuger von für jeden Standardvektor ist. Dann ist die zugehörige Operation der Charaktergruppe auf fixpunktfrei. Zu sei . Für jeden Charakter gilt

da nach Voraussetzung ein Erzeuger ist und somit ist. Bei ist in einem solchen Fall die Fundamentalgruppe von

(wobei das Bild des Nullpunktes sei) aufgrund von Satz 28.1 gleich .



Beispiel  

Wir betrachten die durch

mit

gegebene Graduierung auf , die der linearen Operation der Matrizen

zu einer -ten primitiven Einheitswurzel entspricht, vergleiche dazu auch Beispiel 3.16 und Beispiel 7.13. Der Kern ist durch

und das Monoid durch

gegeben, der Invariantenring ist . Die Bedingungen von Bemerkung 28.2 sind dabei erfüllt, es ist also der einzige Fixpunkt und die Operation auf ist fixpunktfrei. Daher kann man Satz 28.1 anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

gleich ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch

mit

gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach fortsetzen, allerdings lässt sich das -fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem -Algebrahomomorphismus

mit , und , was wiederum der stetigen Abbildung

(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.



Beispiel  

Wir betrachten die durch

mit

gegebene Graduierung auf , die der linearen Operation der Matrizen

zu einer -ten primitiven Einheitswurzel entspricht. Nach Lemma 9.7 ist der Invariantenring zu dieser Operation der -te Veronese-Ring

Die Bedingungen von

Bemerkung 28.2 sind dabei erfüllt, es ist also der einzige Fixpunkt und die Operation auf ist fixpunktfrei. Daher kann man bei Satz 28.1 anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

gleich ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus

gegeben, der die Erzeuger des umgebenden auf abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem -Algebrahomomorphismus

mit

für alle Monome aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome , , werden einfach auf abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung

(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.


Außerhalb der drei schwarzen Achsen, die Kodimension besitzen, ist die Operation fixpunktfrei. Die relevanten Wege verlaufen ganz im Komplement der drei Ebenen. Das reelle Bild lässt nicht erkennen, dass dieses Komplement im komplexen (auch einfach) zusammenhängend ist.

Beispiel  

Wir betrachten die durch

mit

festgelegte Graduierung auf . Die zugehörige lineare Operation auf dem ist durch die Matrizen

gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf nicht fixpunktfrei, dagegen ist die Operation auf , wobei die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da die (komplexe) Kodimension besitzt, ist einfach zusammenhängend. Der Invariantenring ist mit der Relation . Daher ist nach Satz 28.1 die Fundamentalgruppe von gleich .



Beispiel  

Zum Restklassenhomomorphismus

ist der Kern durch gegeben. Die zugehörige Operation ist die von auf durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt bzw. fixpunktfrei auf . Die Quotientenabbildung ist durch das -te Potenzieren

gegeben. Die Fundamentalgruppe von ist bekanntlich . Hier kann man Satz 28.1 nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich , nicht einfach zusammenhängend ist.



Beispiel  

Wir betrachten die durch

mit

festgelegte Graduierung auf . Die zugehörige lineare Operation auf dem ist durch die Matrizen

gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf nicht frei. Die Operation auf , wobei das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt die Kodimension in der Ebene. Der Invariantenring ist , ein Polynomring in zwei Variablen, Satz 28.1 ist in diesem Fall nicht anwendbar.




Fußnoten
  1. Ein solches gibt es stets.
  2. Dies beruht auf dem Satz, dass bei einer reellen Mannigfaltigkeit und einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit der reellen Kodimension die natürliche Abbildung ein Isomorphismus ist. In unserer Situation ist die reelle Kodimension zumindest , allerdings ist nicht unbedingt eine glatte Untervarietät. Man kann aber mit einer Stratifizierung von durch glatte Untervarietäten arbeiten und so das Ergebnis erhalten.



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)