Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 31/latex

\setcounter{section}{31}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mathl{p > 0}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(p)}{} nicht \definitionsverweis {linear reduktiv}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $B$ eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix über $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) } }
{ =} { \operatorname{Spur} { \left( B \circ A \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Spur}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \times \operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , V \right) } } {K } {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) } } {,} eine \definitionsverweis {vollständige Dualität}{}{} gestiftet wird, dass also \mathkor {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} {und} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , V \right) }} {} in natürlicher Weise dual zueinander sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {linear reduktive Gruppe}{}{} über $K$, die auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} \definitionsverweis {rational operiere}{}{.} Zeige unter Betrachtung der homogenen Komponenten von
\mathl{K[V]}{} ohne Verwendung von Satz 31.1 und Lemma 31.2, dass
\mathl{K[V]^G}{} ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von
\mathl{K[V]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {linear reduktive Gruppe}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$, und es seien zwei \definitionsverweis {rationale Darstellungen}{}{} von $G$ in die beiden \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} gegeben. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine surjektive \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die mit den Operationen verträglich sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(V^G) }
{ =} {W^G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}