Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 31

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Invariantenringe bei linear reduktiver Gruppe

Wir möchten zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe ein direkter Summand ist, woraus folgt, dass er endlich erzeugt ist. Wir beginnen mit äquivalenten Charakterisierungen von linear reduktiv.



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine affin-algebraische Gruppe über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist linear reduktiv.
  2. Zu jeder -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum besitzt ein eindeutig bestimmtes -Komplement . Dabei gilt .
  3. Zu jeder -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und jedem , , gibt es eine -invariante Linearform mit .
  4. Zu jeder -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und jedem -Untervektorraum gibt es ein -Komplement.

Beweis  

. Es sei die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Wegen der Irreduzibilität ist gleich oder gleich , daher ist (nach Umordnung) . Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also bilden ein -invariantes Komplement. Wenn ein solches -Komplement ist, so gilt wieder oder . Bei für ein würde die Dimension von zu klein werden, also muss sein. Den Zusatz kann man für die an beteiligten getrennt beweisen. Es sei also

eine -invariante Linearform. Bei und wäre der Kern ein echter -invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von . Bei und wäre eine Bijektion, und dann müsste auf identisch wirken.
. Wir betrachten die lineare Projektion

zur Zerlegung mit dem -invarianten Komplement . Dabei ist und dazu gibt es eine Linearform mit . Die Linearform ist -verträglich und leistet das Gewünschte.
. Sei zunächst irreduzibel. Die Räume und sind dual zueinander, und zwar über die Beziehung

Dabei ist ein Endomorphismus auf . Wir fassen die Inklusion als eine -invariante lineare Abbildung, also als ein Element in , auf. Nach , angewendet auf dieses Element, muss es ein -invariantes mit geben, was bedeutet. Die lineare Abbildung

ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist -invariant als Verknüpfung von zwei -invarianten linearen Abbildungen. Nach Korollar 30.9 ist eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist eine -invariante Projektion auf und daher ist

Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von . Es sei

ein -invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist , wobei ebenfalls -invariant ist. Es ist dann

Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist

mit einem -invarianten Untervektorraum

und daher ist


. Induktion über die Dimension von .


Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer -Algebra von endlichem Typ ein direkter Summand ist, wobei wir Satz 31.1 auf geeignete endlichdimensionale -Untervektorräume anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes in einem endlichdimensionalen -Untervektorraum liegt. Es sei ein affines Gruppenschema zu einer endlich erzeugten -Hopf-Algebra . Die Operation von auf , dem Spektrum einer endlich erzeugten -Algebra, ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus (der Kooperation)

(mit bestimmten Eigenschaften). Für ein kann man dabei

mit und schreiben. Die Operation des -Spektrums von auf ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement , also ein -Algebrahomomorphismus

schickt eine Funktion auf

Es wird also die Hintereinanderschaltung

betrachtet.



Lemma  

Es sei ein Körper, ein affines Gruppenschema über und

eine -algebraische Operation von auf einem affinen Schema , wobei eine kommutative -Algebra sei.

Dann liegt jedes in einem endlichdimensionalen -invarianten -Untervektorraum von .

Beweis  

Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den -Algebrahomomorphismus

wobei die Hopf-Algebra zu sei. Es sei

mit und . Für jedes ist

d.h. diese liegen alle in dem von erzeugten -Untervektorraum von . Der von all diesen , , erzeugte Untervektorraum ist also -invariant und endlichdimensional.




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten -Algebra algebraisch operiere.

Dann ist ein direkter Summand.

Beweis  

Es sei ein endlichdimensionaler -Untervektorraum. Nach Satz 31.1  (2) ist mit einem -Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

eine Reynolds-Abbildung. Nach Lemma 31.2 gibt es zu jedem einen endlichdimensionalen -Untervektorraum mit . Wegen der -Invarianz von ist und die Einschränkung ist die Identität auf . Ferner ist . Bei , , könnte man nämlich mit Hilfe einer -linearen Abbildung

mit eine Linearform auf , nämlich , angeben, die zu gehört. Dadurch ist auf eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu gemäß Lemma 31.2 einen endlichdimensionalen -Untervektorraum und setzen

wobei

die Projektion von auf längs des -Komplementes von in bezeichnet. Dabei ist unabhängig von der Wahl von . Zu einem anderen ist nämlich . Um dies zu zeigen kann man annehmen. Aus ergibt sich durch Schneiden mit sofort eine Zerlegung von , die wegen der Eindeutigkeit mit übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte -lineare Abbildung

Zu ist natürlich (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von auf die Identität. Für ein Gruppenelement und kann man mit dem gleichen Untervektorraum berechnen. Es sei die Zerlegung von in der direkten Zerlegung

Die Zerlegung von hat dann die Form , da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

und ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum -rational operiere.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 31.3 und aus Korollar 12.7 (die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten -Algebra -algebraisch operiere.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Es sei ein -Algebraerzeugendensystem von . Nach Lemma 31.2 gibt es einen endlichdimensionalen -Untervektorraum , der -invariant ist. Es sei der zum Vektorraum gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist

ein surjektiver -Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von verträglich ist. Zu einem invarianten Element gibt es ein , das auf abbildet. Wiederum nach Lemma 31.2 gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum mit . Dann ist ebenfalls -invariant und nach Aufgabe 31.5, angewandt auf

gibt es auch ein -invariantes , das auf abbildet. Es ist also

ebenfalls surjektiv. Nach Satz 31.4 ist und somit endlich erzeugt.



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