Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {} {G \times V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf $V$. Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind. \aufzaehlungdrei{Die Operation auf dem $k$-ten Produkt von $V$ mit sich selbst, also \maabbeledisp {} {G \times V^k } { V^k } {(\sigma, v_1 , \ldots , v_k)} { (\sigma(v_1) , \ldots , \sigma(v_k) ) } {.} }{Die Operation auf dem $k$-ten Dachprodukt
\mathl{\bigwedge^k V}{,} also \maabbdisp {} {G \times \bigwedge^k V } { \bigwedge^k V } {,} die durch
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto \sigma(v_1) \wedge \ldots \wedge \sigma(v_k)}{} festgelegt ist. }{Die duale Operation \zusatzklammer {von rechts} {} {} auf dem \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$, also die Abbildung \maabbeledisp {} {{ V }^{ * } \times G} {{ V }^{ * } } {(f, \sigma)} { f \circ \sigma } {.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {} {G \times V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {induzierte Operation}{}{} auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[V]}{} \definitionsverweis {homogen}{}{,} d.h. dass für jedes
\mathl{\sigma \in G}{} und
\mathl{f \in R_d}{} auch
\mathl{f \sigma \in R_d}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 3.15 und Beispiel 3.18 die induzierte Wirkung der Gruppe auf der $d$-ten Stufe des Polynomringes $K[V]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige die folgende Aussagen. \aufzaehlungzwei {Für die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R^G \right) }^{\times} }
{ =} { R^G \cap R^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } { Wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, so ist auch $R^G$ ein Körper. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass zu jedem
\mathl{f \in R}{} sowohl \mathkor {} {\sum_{\sigma \in G} f \sigma} {als auch} {\prod_{\sigma \in G} f \sigma} {} zum \definitionsverweis {Fixring}{}{} $R^G$ gehören.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{K^{\times}}{} \definitionsverweis {operiere}{}{} durch skalare Multiplikation auf $R$, d.h. zu
\mathl{\lambda \in K^{\times}}{} gehört der durch
\mathl{X_i \mapsto \lambda X_i}{} definierte $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Operation}{}{} der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_n$ auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Bestimme \zusatzklammer {zu \mathlk{n=2,3,4}{}} {} {} für jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{H \subseteq S_n}{} den \definitionsverweis {Fixring}{}{} $R^H$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $S$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit
\mathl{2 \neq 0}{} und
\mathl{a \in S}{.} Zeige, dass die Gruppe
\mathl{\Z/(2) \cong \{1,-1\}}{} auf der \definitionsverweis {quadratischen Erweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ \defeq} {S[X]/(X^2-a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Gruppe von $S$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} operiert, indem $-1$ durch $X \mapsto -X$ wirkt. Bestimme den \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiere. Zeige, dass die Operation genau dann \definitionsverweis {trivial}{}{} ist, wenn
\mathl{R^G=R}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass auf
\mathl{K[X,Y]/(XY)}{} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} von
\mathl{\Z/(2)}{} gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement \mathkor {} {X} {und} {Y} {} vertauscht. Bestimme den \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $G=(R,+)$ die \definitionsverweis {additive Gruppe}{}{} zu $R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( R[X],R[X] \right) } } {r} { \varphi_r } {,} wobei $\varphi_r$ den durch $X \mapsto X+r$ gegebenen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} bezeichnet, eine Gruppenoperation von $G$ auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} definiert ist.

b) Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation gleich $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $G=( R^{\times} ,\cdot)$ die \definitionsverweis {multiplikative Gruppe}{}{} zu $R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung \maabbeledisp {} {G } { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( R[X],R[X] \right) } } {r} { \psi_r } {,} wobei $\psi_r$ den durch $X \mapsto r X$ gegebenen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} bezeichnet, eine Gruppenoperation von $G$ auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation gleich $R$ ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation nicht gleich $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} \definitionsverweis {linear operiere}{}{.} Zeige, dass
\mathl{f \in K[V]}{} genau dann zu
\mathl{K[V]^G}{} gehört, wenn \maabb {f} {V} {K } {} $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Operation der $r$-ten komplexen \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
\mathl{G= \mu_{ r } { \left( {\mathbb C} \right) }}{} auf ${\mathbb C}$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${\mathbb C}[X]$, dessen \definitionsverweis {Fixring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[X^r]}{} ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf $\R^2$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung $r$ und die zugehörige Operation auf
\mathl{\R[X,Y]}{.}

a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[ \operatorname{Re} \, { \left( z^r \right) } ,\, \operatorname{Im} \, { \left( z^r \right) } ] }
{ \subseteq} { \R[X,Y]^G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ \subset} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Aufgabe 3.17. Bestimme zu jeder Untergruppe $H \subseteq G$ ein Polynom aus
\mathl{\R[X,Y]}{,} das bezüglich $H$ \definitionsverweis {invariant}{}{} ist, aber nicht bezüglich einer größeren Untergruppe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{} $p$. Wir betrachten die durch
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf
\mathl{K[X,Y]}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} gleich
\mathdisp {K[Y, X^p - XY^{p-1}]} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {A \times A \times \cdots \times A }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der $n$-fache \definitionsverweis {Produktring}{}{} von $A$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{} $S_n$ auf $R$ durch Vertauschen der Komponenten \definitionsverweis {operiert}{}{.}

b) Bestimme den \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation.

c) Zeige, dass für jede \definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
\mathl{H \subseteq S_n}{} der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem kommutativen \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} $R^G$ ebenfalls lokal ist.

}
{} {}