Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 5
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein fixierter Vektor.
a) Zeige, dass durch
eine Operation von auf definiert ist.
b) Zeige, dass eine differenzierbare Funktion
genau dann unter dieser Operation invariant ist, wenn für die Richtungsableitung in Richtung die Beziehung gilt.
Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge operiere, und es sei ein Normalteiler. Zeige, dass auf dem Bahnenraum die Restklassengruppe in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum mit dem Bahnenraum übereinstimmt.
Es sei ein Körper, eine Gruppe und
eine Darstellung von in einen - dimensionalen - Vektorraum . Es seien und zwei Basen von und
seien die zugehörigen Matrixdarstellungen. Zeige, dass die Invariantenringe und isomorph sind.
Zeige, dass der im Beweis zu Lemma 5.4 verwendete komplexe Invariantenring nicht faktoriell ist.
Erstelle eine Version von Lemma 5.8 für geeignete multiplikative Systeme.
Diskutiere Beispiel 5.9 für den Fall, dass ein endlicher Körper ist.
Man gebe ein Beispiel für einen Integritätsbereich und einer Gruppenoperation einer endlichen Gruppe auf derart, dass nicht jeder Zwischenring , , der Invariantenring zu einer Untergruppe von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die natürliche Operation der Drehgruppe auf dem . Mit den natürlichen Identifizierungen und
kann man dies als eine lineare Operation auf dem auffassen. Zeige, dass die zugehörige Operation auf dem Polynomring nur die Konstanten als Invarianten besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)
(vergleiche Aufgabe 4.14).
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf dem Körper die Operation von , wobei durch auf wirkt und diese Wirkung auf den Quotientenkörper fortgesetzt wird. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei oder . Wir betrachten die skalare Multiplikation von auf . Es sei ein metrischer Raum und
eine stetige Abbildung, die auf den Bahnen der Operation konstant sei. Zeige, dass konstant ist.
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