Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 5

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein fixierter Vektor.

a) Zeige, dass durch

eine Operation von auf definiert ist.

b) Zeige, dass eine differenzierbare Funktion

genau dann unter dieser Operation invariant ist, wenn für die Richtungsableitung in Richtung die Beziehung gilt.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge operiere, und es sei ein Normalteiler. Zeige, dass auf dem Bahnenraum die Restklassengruppe in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum mit dem Bahnenraum übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Gruppe und

eine Darstellung von in einen -dimensionalen -Vektorraum . Es seien und zwei Basen von und

seien die zugehörigen Matrixdarstellungen. Zeige, dass die Invariantenringe und isomorph sind.


Aufgabe

Beweise den Zusatz von Lemma 5.4.


Aufgabe

Zeige, dass der im Beweis zu Lemma 5.4 verwendete komplexe Invariantenring nicht faktoriell ist.


Aufgabe

Erstelle eine Version von Lemma 5.8 für geeignete multiplikative Systeme.


Aufgabe

Diskutiere Beispiel 5.9 für den Fall, dass ein endlicher Körper ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Integritätsbereich und einer Gruppenoperation einer endlichen Gruppe auf derart, dass nicht jeder Zwischenring , , der Invariantenring zu einer Untergruppe von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die natürliche Operation der Drehgruppe auf dem . Mit den natürlichen Identifizierungen und

kann man dies als eine lineare Operation auf dem auffassen. Zeige, dass die zugehörige Operation auf dem Polynomring nur die Konstanten als Invarianten besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Drücke die Funktion

explizit als eine stetige Funktion in den Funktionen und aus.

(vergleiche Aufgabe 4.14).

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf dem Körper die Operation von , wobei durch auf wirkt und diese Wirkung auf den Quotientenkörper fortgesetzt wird. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei oder . Wir betrachten die skalare Multiplikation von auf . Es sei ein metrischer Raum und

eine stetige Abbildung, die auf den Bahnen der Operation konstant sei. Zeige, dass konstant ist.



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