Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 4

Induzierte Darstellungen

Proposition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$G\times V⟶V$

eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Durch diese Operation werden folgende lineare Operationen induziert.

1. Die Operation auf dem $k$-ten Produkt von $V$ mit sich selbst, also

   $G\times V^k⟶V^k,(\sigma ,v_1,\dots ,v_k)⟼(\sigma (v_1),\dots ,\sigma (v_k)).$

2. Die Operation auf dem $k$-ten Dachprodukt $\stackrel{k}{\bigwedge }V$, also

   $G\times \stackrel{k}{\bigwedge }V⟶\stackrel{k}{\bigwedge }V,$

   die durch $v_1\wedge \dots \wedge v_k\mapsto \sigma (v_1)\wedge \dots \wedge \sigma (v_k)$ festgelegt ist.

3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum $V^{\ast }$, also die Abbildung

   $V^{\ast }\times G⟶V^{\ast },(f,\sigma )⟼f\circ \sigma .$

Beweis

Siehe Aufgabe 4.1.

$◻$

Lineare Operationen und der Polynomring

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $X$ (beispielsweise einem Vektorraum) operiere. Es sei $K$ ein Körper und

$f:X⟶K$

eine beliebige Funktion mit $X$ als Definitionsbereich und $K$ als Zielbereich. Die Menge dieser Funktionen $[[:Vorlage:Op:Abbildungne]]$ bilden einen kommutativen Ring, wobei je zwei Funktionen addiert oder multipliziert werden, indem an jedem Punkt  $x\in X$  die Werte dieser Funktion addiert bzw. multipliziert werden. Zu  $\sigma \in G$,  aufgefasst als Bijektion

$\sigma :X⟶X,$

ergibt sich die neue Funktion

$X\stackrel{\sigma }{⟶}X\stackrel{f}{⟶}K,$

also $f\circ \sigma$. Die Gruppe operiert also auch auf dem Funktionenring, und zwar wegen

$f\circ \left(\sigma \tau \right)=(f\circ \sigma )\circ \tau$

von rechts. Zu diesem Übergang vergleiche auch Beispiel 2.25.

Auf einem $K$-Vektorraum sind die einfachsten Funktionen von $V$ nach $K$ die Linearformen. Wenn eine Gruppe $G$ linear auf $V$ operiert, so ist die Zuordnung (vergleiche Proposition 4.1  (3))

$V^{\ast }\times G⟶V^{\ast },(f,\sigma )⟼f\circ \sigma ,$

selbst $K$-linear.

Bei  $V=K^n$  bilden die Projektionen $p_i$, wobei die Projektion $p_i$ ein Tupel $(x_1,\dots ,x_n)$ auf seine $i$-te Komponente $x_i$ abbildet, eine Basis von $V^{\ast }$ (die sogenannte Dualbasis). Ein Polynom  $f\in K[X_1,\dots ,X_n]$  aus dem Polynomring in $n$ Variablen über $K$ kann man direkt als eine Funktion (die zugehörige Polynomfunktion) von $K^n$ nach $K$ interpretieren, indem man in das Polynom das Tupel $(x_1,\dots ,x_n)$ einsetzt, bzw. die Variable $X_i$ als die $i$-te Projektion $p_i$ interpretiert.

Man möchte nun jedem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ (ohne Bezug auf eine Basis) einen Polynomring $K[V]$ zuordnen, dessen Elemente man als $K$-wertige Funktionen auf $V$ auffassen kann. Da es stets eine lineare Isomorphie  $V\cong K^n$  gibt, wird es auch einen $K$-Algebraisomorphismus  $K[V]\cong K[X_1,\dots ,X_n]$  geben.

Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen $f_1\cdot f_2\cdots f_m$, wobei die $f_i$ Linearformen auf $V$ sind, symbolisch erzeugte kommutative $K$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu $V$. Er wird mit

$K[V]$

bezeichnet.

Bemerkung  

Jedes Element in $K[V]$ besitzt eine Darstellung der Form

$\sum _{\nu }{a}_{\nu }{f}_{\nu }$

(mit endlicher Indexmenge), wobei  $a_{\nu }\in K$  und $f_{\nu }$ ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung

$g=b_1{g}_1+\cdots +b_{\ell }{g}_{\ell }$

für Linearformen $g,g_1,\dots ,g_{\ell }$ (mit $b_j\in K$) die Gleichung

$g{f}_2\cdots f_m=\sum _{j=1}^{\ell }{b}_j{g}_j{f}_2\cdots f_m.$

Wenn $V$ $n$-dimensional ist und $f_1,\dots ,f_n$ eine Basis von $V^{\ast }$ ist, so lässt sich daher jedes Element aus $K[V]$ als Polynom in den $f_i$ schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in $K[V]$ nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen $K$-Algebraisomorphismus

$K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[V],X_i⟼f_i.$

Bemerkung  

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Dann lässt sich der Polynomring $K[V]$ auch als die von sämtlichen Linearformen erzeugte $K$-Unteralgebra von $\mathrm{Abb}(V,K)$ definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom $\ne 0$ auf $K^n$ (also als Polynomfunktion aufgefasst) nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom $X^p-X$ über $\mathbb{Z}/(p)$ zeigt.

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V,W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und $\phi :V\to W$ sei eine lineare Abbildung. Den durch

${\phi }^{\ast }:W^{\ast }⟶V^{\ast }$

über $f_1\cdots f_m\mapsto {\phi }^{\ast }(f_1)\dots {\phi }^{\ast }(f_m)$ gegebenen $K$-Algebrahomomorphismus

$K[W]⟶K[V]$

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

Bemerkung  

Es sei

$\phi :K^n⟶K^m$

eine lineare Abbildung, die durch eine $m\times n$-Matrix $A$ gegeben sei. Dann wird der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus

$K[Y_1,\dots ,Y_m]⟶K[X_1,\dots ,X_n]$

durch $Y_j\mapsto \sum _{k=1}^n{a}_{jk}{X}_k$ gegeben. Nach Definition wird $Y_j$ auf die Hintereinanderschaltung

$K^n\stackrel{\phi }{⟶}{K}^m\stackrel{p_j}{⟶}K$

abgebildet. Diese schickt den $i$-ten Standardvektor $e_i$ auf

$p_j(\phi (e_i))=p_j\left(\sum _{k=1}^m{a}_{ki}{e}_k\right)=a_{ji}.$

Durch diese Bedingungen ist aber gerade

$\sum _{k=1}^n{a}_{jk}{p}_k=\sum _{k=1}^n{a}_{jk}{X}_k$

charakterisiert. Zu einer Linearform $\sum _{j=1}^m{b}_j{Y}_j$ berechnet man also das Bild $\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i$, indem man  $c=A^{\text{tr}}b$  ausrechnet (siehe auch Fakt *****). Für ein beliebiges Polynom  $F\in K[Y_1,\dots ,Y_m]$  ergibt sich das Bild, indem man in $F$ jedes $Y_j$ durch den angegebenen Ausdruck ersetzt. Rechnerisch muss man nur die Gleichung

$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)$

konsequent anwenden.

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$G\times V⟶V$

eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Es sei $K[V]$ der Polynomring zu $V$. Die Operation der Gruppe $G$ (von rechts) auf $K[V]$, die für jedes  $\sigma \in G$  per Definition 4.5 durch die Zuordnung

$V^{\ast }⟶V^{\ast },f⟼f\circ \sigma ,$

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die symmetrische Gruppe $S_n$, die auf $K^n$ linear operiert, indem  $\sigma \in S_n$  den $i$-ten Standardvektor $e_i$ auf $e_{\sigma (i)}$ schickt (wie in Beispiel 3.4). Diese Gruppenoperation induziert gemäß Definition 4.7 eine Operation auf dem Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$. Dabei wird $X_i$ auf $X_{{\sigma }^{-1}(i)}$ geschickt! Abgesehen von diesem Invertieren ist diese Operation der $S_n$ auf dem Polynomring nichts anderes als die in der ersten Vorlesung besprochene Operation.

Wenn eine Gruppe auf dem $K^n$ durch Diagonalmatrizen operiert, wie in Beispiel 3.15 und Ähnlichen, so erübrigt sich das Transponieren, wenn man zur zugehörigen Operation auf dem Polynomring übergeht.

Beispiel

Auf einem $K$-Vektorraum $V$ operiert die Einheitengruppe $K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Die entsprechende Operation auf dem Polynomring $K[V]$ ist für  $\lambda \in K^{\times }$  durch $f\mapsto \lambda f$ für eine Linearform $f$ gegeben. Ein Produkt $f_1\cdots f_d$ von Linearformen wird auf ${\lambda }^d{f}_1\cdots f_d$ abgebildet.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die in Beispiel 3.13 beschriebene Operation von

$\mathbb{Z}/(r)\cong {\mu }_r\left(K\right)$

auf $K$ durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring $K[X]$ ist dadurch gegeben, dass  ${\zeta }^i\in {\mu }_r\left(K\right)$  durch $X\mapsto {\zeta }^{i}X$ wirkt. Somit wird eine Potenz $X^j$ auf ${\zeta }^{ij}{X}^j$ abgebildet. Insbesondere ist das Polynom $X^r$ fix unter dieser Gruppenoperation.

Zu einem Vektorraum $V$ ist der Polynomring $K[V]$ in natürlicher Weise $\mathbb{N}$-graduiert, und zwar besteht die $d$-te Stufe aus allen $K$-Linearkombinationen von Produkten der Form $f_1\cdots f_d$, wobei die $f_j$ Linearformen sind.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$G\times V⟶V$

eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$.

Dann ist die induzierte Operation auf dem Polynomring  $R=K[V]$  homogen, d.h. für jedes  $\sigma \in G$  und  $f\in R_d$  ist auch  $f\sigma \in R_d$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 4.2.

$◻$

Die Stufen $R_d$ sind also $G$-invariante Untervektorräume von $R$.

Invariantenringe

Da eine Operation einer Gruppe von links auf einem geometrischen Objekt in natürlicher Weise zu einer Operation von rechts auf dem Ring der Funktionen führt, werden wir im Folgenden die Operationen auf einem Ring generell von rechts schreiben.

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

$R^G=\{f\in R\mid f\sigma =f\text{ für alle }\sigma \in G\}$

als den Invariantenring (oder Fixring) von $R$ unter der Operation von $G$.

Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von $R$. Die $0$ und die $1$ sind invariant, da alle  $\sigma \in G$  als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen  $f,g\in R^G$  auch das Negative $-f$, deren Summe $f+g$ und deren Produkt $fg$ invariant.

Bemerkung  

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra über einem Körper und es sei $G$ eine Gruppe, die als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem  $\sigma \in G$  sei also

$\sigma :R⟶R$

ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist  $K\subseteq R^G$  und der Fixring $R^G$ ist selbst eine $K$-Algebra. Zu einer linearen Operation von $G$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist die zugehörige Operation von $G$ auf dem Polynomring $K[V]$ eine Operation als Gruppe von $K$-Automorphismen.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${\left(R^G\right)}^{\times }=R^G\cap R^{\times }.$

2. Wenn $R$ ein Körper ist, so ist auch $R^G$ ein Körper.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.4.

$◻$

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$G\times V⟶V$

eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$.

Dann ist der Fixring  $R^G\subseteq R=K[V]$  der induzierten Operation auf dem Polynomring $K[V]$ ein $\mathbb{N}$-graduierter Unterring.

Dabei ist

${\left(R^G\right)}_d=(R_d{)}^G,$

die $d$-te Stufe des Fixringes ist der Fixraum der induzierten Operation auf der $d$-ten Stufe des Polynomringes.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 4.11.

$◻$

In diesem Fall ist also die Bestimmung des Fixringes gleichbedeutend mit der Bestimmung des Fixraumes zu $K[V{]}_d$ für jedes  $d\in \mathbb{N}$. 

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die Operation von ${\mu }_r\left(K\right)$ auf $K$ und auf $K[X]$ durch skalare Multiplikation (siehe Beispiel 3.13 und Beispiel 4.10). Der Fixring zu dieser Operation ist $K[X^r]$. Dazu muss man nur die Wirkungsweise des Erzeugers $\zeta$ der Gruppe verstehen und nach Lemma 4.15 muss man nur die (eindimensionalen) homogenen Stufen  $K[X{]}_d=K\cdot X^d$  betrachten. Die induzierte Operation ist $X^d\mapsto {\zeta }^d{X}^d$. Dies ist genau dann die Identität, wenn $d$ ein Vielfaches von $r$ ist. Daher bilden die Stufen $K[X{]}_{mr}$ den Invariantenring.

Beispiel

Zur natürlichen Operation der symmetrischen Gruppe $S_n$ auf $K^n$ bzw. auf $K[X_1,\dots ,X_n]$ ist der Fixring

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^{S_n}=K[E_1,\dots ,E_n],$

wobei die $E_i$ die elementarsymmetrischen Polynome sind. Dies ist die Existenzaussage von Satz 1.7; die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in $n$ Variablen ist.

Bemerkung  

Die Elemente eines Polynomrings $K[V]$ zu einem $K$-Vektorraum $V$ kann man als Funktionen von $V$ nach $K$ auffassen. Wenn eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$ vorliegt, so ist ein Element  $f\in K[V{]}^G\subseteq K[V]$  eine invariante Funktion von $V$ nach $K$ im Sinne von Definition 2.21. Zu  $\sigma \in G$  und  $v\in V$  ist ja

$f(\sigma (v))=(f\sigma )(v)=f(v).$

Wenn $K$ unendlich ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung, d.h. ein Polynom  $f\in K[V]$,  das aufgefasst als Funktion auf $V$ invariant ist, gehört zum Invariantenring $K[V{]}^G$, siehe Aufgabe 4.13. Bei endlichem $K$ muss die Umkehrung nicht gelten, siehe Beispiel 4.19. Wir werden später sehen, dass es zu jedem kommutativen Ring einen topologischen Raum gibt, auf dem man Elemente des Invariantenringes zu einer Gruppenoperation als invariante Abbildungen auffassen kann.

Beispiel

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe  $G=S_2\cong \mathbb{Z}/(2)$  auf  $V={(\mathbb{Z}/(p))}^2$  ($p\ge 2$), das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten (das entspricht der Matrix $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ bzw. $X⟷Y$). Wegen

$f=X{Y}^p-X^{p}Y=X(Y^p-Y)-Y(X^p-X)$

ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf $V$, die Nullfunktion und somit insbesondere $G$-invariant. Dagegen ist $f$ kein symmetrisches Polynom und gehört nicht zu $\mathbb{Z}/(p)[X,Y{]}^G$.

Fußnoten

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