Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 4

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Induzierte Darstellungen



Proposition

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Durch diese Operation werden folgende lineare Operationen induziert.

  1. Die Operation auf dem -ten Produkt[1] von mit sich selbst, also
  2. Die Operation auf dem -ten Dachprodukt , also

    die durch festgelegt ist.

  3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum , also die Abbildung

Beweis

Siehe Aufgabe 4.1.




Lineare Operationen und der Polynomring

Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge (beispielsweise einem Vektorraum) operiere. Es sei ein Körper und

eine beliebige Funktion mit als Definitionsbereich und als Zielbereich. Die Menge dieser Funktionen bilden einen kommutativen Ring, wobei je zwei Funktionen addiert oder multipliziert werden, indem an jedem Punkt die Werte dieser Funktion addiert bzw. multipliziert werden. Zu , aufgefasst als Bijektion

ergibt sich die neue Funktion

also . Die Gruppe operiert also auch auf dem Funktionenring, und zwar wegen

von rechts. Zu diesem Übergang vergleiche auch Beispiel 2.25.

Auf einem -Vektorraum sind die einfachsten Funktionen von nach die Linearformen. Wenn eine Gruppe linear auf operiert, so ist die Zuordnung (vergleiche Proposition 4.1)

selbst -linear.

Bei bilden die Projektionen , wobei die Projektion ein Tupel auf seine -te Komponente abbildet, eine Basis von (die sogenannte Dualbasis). Ein Polynom aus dem Polynomring in Variablen über kann man direkt als eine Funktion (die zugehörige Polynomfunktion) von nach interpretieren, indem man in das Polynom das Tupel einsetzt, bzw. die Variable als die -te Projektion interpretiert.

Man möchte nun jedem endlichdimensionalen -Vektorraum einen Polynomring zuordnen, dessen Elemente man als -wertige Funktionen auf auffassen kann. Da es stets eine lineare Isomorphie gibt, wird es auch einen -Algebraisomorphismus geben.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen , wobei die Linearformen auf sind, symbolisch erzeugte kommutative -Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu . Er wird mit

bezeichnet.

Bemerkung  

Jedes Element in besitzt eine Darstellung der Form

(mit endlicher Indexmenge), wobei und ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung

für Linearformen die Gleichung

Wenn -dimensional ist und eine Basis von ist, so lässt sich daher jedes Element aus als Polynom in den schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen -Algebraisomorphismus


Bemerkung  

Es sei ein unendlicher Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Dann lässt sich der Polynomring auch als die von sämtlichen Linearformen erzeugte -Unteralgebra von definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom auf (also als Polynomfunktion aufgefasst) nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom über zeigt.



Definition  

Es sei ein Körper, seien endlichdimensionale -Vektorräume und sei eine lineare Abbildung. Den durch

über gegebenen -Algebrahomomorphismus

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

Bemerkung  

Es sei

eine lineare Abbildung, die durch eine -Matrix gegeben sei. Dann wird der zugehörige -Algebrahomomorphismus

durch gegeben. Nach Definition wird auf die Hintereinanderschaltung

abgebildet. Diese schickt den -ten Standardvektor auf

Durch diese Bedingungen ist aber gerade

charakterisiert. Zu einer Linearform berechnet man also das Bild , indem man ausrechnet. Für ein beliebiges Polynom ergibt sich das Bild, indem man in jedes durch den angegebenen Ausdruck ersetzt.



Definition  

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Es sei der Polynomring zu . Die Operation der Gruppe (von rechts) auf , die für jedes per Definition 4.5 durch die Zuordnung

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.


Beispiel  

Es sei ein Körper. Wir betrachten die symmetrische Gruppe , die auf linear operiert, indem den -ten Standardvektor auf schickt (wie in Beispiel 3.4). Diese Gruppenoperation induziert gemäß Definition 4.7 eine Operation auf dem Polynomring . Dabei wird auf geschickt! Abgesehen von diesem Invertieren ist diese Operation der auf dem Polynomring nichts anderes als die in der ersten Vorlesung besprochene Operation.


Wenn eine Gruppe auf dem durch Diagonalmatrizen operiert, wie in Beispiel 3.15 und Ähnlichen, so erübrigt sich das Transponieren, wenn man zur zugehörigen Operation auf dem Polynomring übergeht.


Beispiel  

Auf einem -Vektorraum operiert die Einheitengruppe durch skalare Multiplikation. Die entsprechende Operation auf dem Polynomring ist für durch für eine Linearform gegeben. Ein Produkt von Linearformen wird auf abgebildet.



Beispiel  

Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Wir betrachten die in Beispiel 3.13 beschriebene Operation von

auf durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring ist dadurch gegeben, dass durch wirkt. Somit wird eine Potenz auf abgebildet. Insbesondere ist das Polynom fix unter dieser Gruppenoperation.


Zu einem Vektorraum ist der Polynomring in natürlicher Weise[2] -graduiert, und zwar besteht die -te Stufe aus Linearkombinationen von Produkten der Form , wobei die Linearformen sind.


Lemma

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf .

Dann ist die induzierte Operation auf dem Polynomring homogen, d.h. für jedes und ist auch .

Beweis

Siehe Aufgabe 4.2.

Die Stufen sind also -invariante Untervektorräume von .



Invariantenringe

Da eine Operation einer Gruppe von links auf einem geometrischen Objekt in natürlicher Weise zu einer Operation von rechts auf dem Ring der Funktionen führt, werden wir im Folgenden die Operationen auf einem Ring generell von rechts schreiben.


Definition  

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

als den Invariantenring (oder Fixring[3]) von unter der Operation von .

Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von . Die und die sind invariant, da alle als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen auch das Negative , deren Summe und deren Produkt invariant.

Bemerkung  

Es sei eine kommutative -Algebra über einem Körper und es sei eine Gruppe, die als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem sei also

ein -Algebrahomomorphismus. Dann ist und der Fixring ist selbst eine -Algebra. Zu einer linearen Operation von auf einem -Vektorraum ist die zugehörige Operation von auf dem Polynomring eine Operation als Gruppe von -Automorphismen.




Lemma

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für die Einheiten gilt
  2. Wenn ein Körper ist, so ist auch ein Körper.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.4.



Lemma  

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf .

Dann ist der Fixring der induzierten Operation auf dem Polynomring ein -graduierter Unterring.

Dabei ist

die -te Stufe des Fixringes ist der Fixraum der induzierten Operation auf der -ten Stufe des Polynomringes.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 4.1.


In diesem Fall ist also die Bestimmung des Fixringes gleichbedeutend mit der Bestimmung des Fixraumes zu für jedes .


Beispiel  

Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Wir betrachten die Operation von auf und auf durch skalare Multiplikation (siehe Beispiel 3.13 und Beispiel 4.10). Der Fixring zu dieser Operation ist . Dazu muss man nur die Wirkungsweise des Erzeugers der Gruppe verstehen und nach Lemma 4.15 muss man nur die (eindimensionalen) homogenen Stufen betrachten. Die induzierte Operation ist . Dies ist genau dann die Identität, wenn ein Vielfaches von ist. Daher bilden die Stufen den Invariantenring.



Beispiel  

Zur natürlichen Operation der symmetrischen Gruppe auf bzw. auf ist der Fixring

wobei die die elementarsymmetrischen Polynome sind. Dies ist die Existenzaussage von Satz 1.7; die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in Variablen ist.


Bemerkung  

Die Elemente eines Polynomrings zu einem -Vektorraum kann man als Funktionen von nach auffassen. Wenn eine lineare Operation einer Gruppe auf vorliegt, so ist ein Element eine invariante Funktion von nach im Sinne von Definition 2.21. Zu und ist ja

Wenn unendlich ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung, d.h. ein Polynom , das aufgefasst als Funktion auf invariant ist, gehört zum Invariantenring , siehe Aufgabe 4.13. Bei endlichem muss die Umkehrung nicht gelten, siehe Beispiel 4.19. Wir werden später sehen, dass es zu jedem kommutativen Ring einen topologischen Raum gibt, auf dem man Elemente des Invariantenringes zu einer Gruppenoperation als invariante Abbildungen auffassen kann.



Beispiel  

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe auf (), das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten (das entspricht der Matrix bzw. ). Wegen

ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf , die Nullfunktion und somit insbesondere -invariant. Dagegen ist kein symmetrisches Polynom und gehört nicht zu .




Fußnoten
  1. Diese Konstruktion lag schon Beispiel 1.1 zugrunde.
  2. Die Formulierung „in natürlicher Weise“ kann man an dieser Stelle gut erläutern. Die angesprochene -Graduierung von besteht unabhängig und ohne Bezug auf eine Basis. Man kann einen Polynomring auch mit einer -Graduierung versehen, doch ist dies abhängig von einer gewählten Basis.
  3. Die Bezeichnung Fixring ist eigentlich genauer, da in ihr ausgedrückt wird, dass jedes Element daraus auf sich selbst abgebildet wird, und nicht, wie invariant häufig verwendet wird, dass gewisse Teilmengen zwar auf sich abgebildet werden, dabei aber Elemente der Teilmenge durchaus vertauscht werden können. Die Bezeichnung Invariantenring ist aber dennoch die gebräuchlichere.



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