Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe
\mathdisp {K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)} { }
als \definitionsverweis {Monoidring}{}{} und als \definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{} eines \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} in einer geeigneten \definitionsverweis {Graduierung}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Monoid}{}{} und den \definitionsverweis {Monoidring}{}{,} das durch den \definitionsverweis {Kegel}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { { \left\{ av+bw \mid a,b \in \R_{\geq 0} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w }
{ = }{\begin{pmatrix} 2 \\5 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bestimmt ist. Finde eine \definitionsverweis {Graduierung}{}{} auf
\mathl{K[X,Y]}{} derart, dass der Monoidring der \definitionsverweis {Ring der neutralen Stufe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \Gamma =\Z^n}{} ein \definitionsverweis {normales}{}{,} \definitionsverweis {spitzes}{}{} \definitionsverweis {Monoid}{}{,} wobei $\Gamma$ das \definitionsverweis {Differenzengitter}{}{} zu $M$ sei. Es sei
\mathl{C= \R_{\geq} M \subseteq \R^n}{} der zugehörige \definitionsverweis {rationale Kegel}{}{.} Zeige, dass bei
\mathl{n=2}{} dieser Kegel durch zwei Halbräume \zusatzklammer {bzw. Linearformen} {} {} beschreibbar ist, und dass bei
\mathl{n=3}{} jede Anzahl an Halbräumen
\mathl{r \geq n}{} auftreten kann.

}
{} {}

Die beiden nächsten Aufgaben machen zwei Extremfälle von Satz 9.5  (4) explizit.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{d_1 , \ldots , d_r}{} seien ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { \mu_{ \ell } { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) } } {t} { \begin{pmatrix} t^{d_1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & t^{d_2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & t^{d_{r-1} } & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & t^{d_r} \end{pmatrix} } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{\ell_1 , \ldots , \ell_a}{} natürliche Zahlen und
\mathl{d_1 , \ldots , d_{a+b}}{} ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { \mu_{ \ell_1 } { \left( K \right) } \times \cdots \times \mu_{ \ell_a } { \left( K \right) } \times { \left( K^{\times} \right) }^b } { \operatorname{GL}_{ 1 } \! { \left( K \right) } \cong K^{\times} } {(t_1 , \ldots , t_{a+b} )} { t_1^{d_1} \cdots t_{a+b}^{d_{a+b} } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zur durch einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\delta} {\Z^2} { \Z/(3) } {} bestimmten $\Z/(3)$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{} auf
\mathl{K[U,V]}{} den Ring der neutralen Stufe in Abhängigkeit von $\delta$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} auf der eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von \definitionsverweis {homogenen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A^{(s)} \right) }^G }
{ =} { { \left( A^G \right) }^{(s)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{K[U,V]^{(s)}}{} als $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} durch
\mathl{s+1}{} Elemente
\mathl{Z_0,Z_1 , \ldots , Z_s}{} erzeugt wird derart, dass sämtliche $2\times 2$-\definitionsverweis {Minoren}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z_0 & Z_1 & \ldots & Z_{ s-2} & Z_{ s-1} \\ Z_1 & Z_2 & \ldots & Z_{ s-1} & Z_s \end{pmatrix}} { }
Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A= \bigoplus_{d \in D} A_d}{} ein \definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es sei
\mathl{A_e}{} eine \definitionsverweis {Stufe}{}{,} die eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} enthalte. Zeige, dass $A_e$ als $A_0$-\definitionsverweis {Modul}{}{} isomorph zu $A_0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {Untermonoids}{}{}
\mathl{M\subseteq \N^2}{,} das nicht \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Bestimme in der Situation von Aufgabe 9.5 den \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} der \definitionsverweis {zugehörigen Operation}{}{} auf dem Polynomring.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die minimale Anzahl eines \definitionsverweis {Erzeugendensystems}{}{} für den \definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^{(s)}}{.}

}
{} {}