Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 8

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Seien kommutative Monoide. Zeige, dass durch

ein Untermonoid von gegeben ist, das umfasst.


Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide und . Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von nach eindeutig durch eine Matrix (mit Spalten und Zeilen) mit Einträgen aus bestimmt ist.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

in eine Gruppe gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
  2. Die kanonische Abbildung ist injektiv.
  3. lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Beweise die -Algebraisomorphie

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring betrachten. Sei nun weiter ein -Modul. Zeige, dass

  1. nichts anderes ist als ein -Vektorraum zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus .
  2. ein -Modulhomomorphismus eine -lineare Abbildung ist, für die zusätzlich für alle gilt.

Bemerkung: heißt dann eine Darstellung von . Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als und man kann mit Hilfe von oft hilfreiche Erkenntnisse über selbst gewinnen.



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